はじめに

二次関数の最大値・最小値で点が落ちやすい原因は、計算そのものよりも「どこで場合分けするか」が曖昧なまま解いていることにあります。

特に、定義域がある問題では、頂点がそのまま答えになるとは限りません。また、最小値を求めるときと最大値を求めるときでは、見るべき基準が変わります。

この記事では、二次関数の最大値・最小値について、平方完成から頂点と軸を求め、定義域との位置関係から最大値・最小値を判断する方法を整理します。

二次関数の最大・最小は、公式暗記ではなく、グラフの位置関係で判断する単元です。式とグラフを対応させて理解することが重要です。

基本事項

二次関数は、平方完成すると次の形で表せます。

\[ y=a(x-p)^2+q \]

このとき、頂点は \( (p,q) \)、軸は \( x=p \) です。

最大値・最小値を考えるときは、まず次の3つを確認します。

確認するもの 意味
放物線の向き \( a>0 \) なら下に凸、\( a<0 \) なら上に凸
軸 グラフが左右対称になる直線
定義域 \( x \) が動ける範囲

この記事では、主に定義域が

\[ \alpha \leqq x \leqq \beta \]

のように閉じた区間で与えられている場合を扱います。この場合、二次関数の最大値・最小値は必ず存在します。

まず押さえるべき点は、頂点が定義域の中にあるかどうかです。頂点が定義域の外にある場合、頂点の値をそのまま最大値・最小値として答えてはいけません。

例えば、\( y=(x-2)^2-3 \) の頂点は \( (2,-3) \) です。しかし、定義域が \( 0\leqq x\leqq 1 \) であれば、\( x=2 \) は定義域の外にあります。したがって、\( y=-3 \) はこの定義域では実際にとれない値です。

最大値・最小値では、「グラフ全体の形」ではなく、「指定された定義域の中でどこが一番高いか、低いか」を考える必要があります。

解法の判断基準

二次関数の最大値・最小値は、次の手順で考えます。

  1. 平方完成して、頂点と軸を求めます。
  2. 定義域と軸の位置関係を確認します。
  3. 最小値なら、軸が定義域に入るかを見ます。
  4. 最大値なら、軸と定義域の中央の位置関係を見ます。
  5. 必要な \( x \) の値を代入して、最大値・最小値を求めます。

下に凸の二次関数

\[ y=a(x-p)^2+q \quad (a>0) \]

を考えます。

下に凸の場合、軸に近いほど値は小さく、軸から遠いほど値は大きくなります。これが最大値・最小値の判断の中心です。

最小値の判断基準

下に凸のグラフでは、最小値は「軸に最も近い点」で決まります。

定義域を \( \alpha\leqq x\leqq\beta \)、軸を \( x=p \) とします。

軸の位置 最小値をとる場所
\( p<\alpha \) 左端 \( x=\alpha \)
\( \alpha\leqq p\leqq\beta \) 頂点 \( x=p \)
\( \beta<p \) 右端 \( x=\beta \)

位置関係で書くと、次のようになります。

場合 位置関係 判断
軸が定義域の左外 \( p<\alpha\leqq x\leqq\beta \) 定義域内では左端が軸に最も近い
軸が定義域内 \( \alpha\leqq p\leqq\beta \) 頂点が最小
軸が定義域の右外 \( \alpha\leqq x\leqq\beta<p \) 定義域内では右端が軸に最も近い

最小値は、軸が定義域に入っているかどうかを基準にします。ここでは、定義域の中央を見る必要はありません。

最大値の判断基準

下に凸のグラフでは、最大値は「軸から最も遠い端点」で決まります。

定義域を \( \alpha\leqq x\leqq\beta \) とすると、端点は \( x=\alpha \) と \( x=\beta \) です。どちらが軸 \( x=p \) から遠いかを比べればよいです。

この比較を簡単にするために、定義域の中央

\[ \frac{\alpha+\beta}{2} \]

を見ます。

放物線は軸に対して左右対称です。そのため、軸から遠い端点ほど、下に凸のグラフでは高い位置にあります。

軸の位置 最大値をとる場所
\( p<\dfrac{\alpha+\beta}{2} \) 右端 \( x=\beta \)
\( p=\dfrac{\alpha+\beta}{2} \) 両端 \( x=\alpha,\beta \)
\( p>\dfrac{\alpha+\beta}{2} \) 左端 \( x=\alpha \)

最大値で定義域の中央を見るのは、放物線が軸に対して左右対称だからです。

下に凸のグラフでは、軸から離れるほど \( y \) の値は大きくなります。そのため、最大値は頂点ではなく、基本的に端点で決まります。どちらの端点かを判断するために、定義域の中央を使います。

補足：上に凸の場合

ここまでの主軸は、下に凸の基本パターンです。上に凸の二次関数では、近い・遠いの判断が逆になります。

\[ y=a(x-p)^2+q \quad (a<0) \]

では、軸に近いほど値は大きく、軸から遠いほど値は小さくなります。

したがって、上に凸の場合は次のように整理できます。

グラフの向き 最大値の基準 最小値の基準
下に凸 軸から遠い端点 軸に最も近い点
上に凸 軸に最も近い点 軸から遠い端点

下に凸のパターンだけを暗記すると、上に凸の問題で判断が逆になります。放物線の向きと、軸から近いか遠いかを必ず確認する必要があります。

例題

問題

例題1として、次の二次関数の最大値と最小値を求めます。

\[ y=x^2-4x+1 \quad (0\leqq x\leqq 3) \]

例題2として、次の二次関数の最小値を求めます。

\[ a \text{ を定数とします。 } y=x^2-2ax+a^2+1 \quad (0\leqq x\leqq 2) \]

方針

例題1は、文字定数を含まない基本問題です。平方完成して軸を求め、定義域との位置関係を確認します。

例題2は、軸が \( a \) によって動く問題です。軸 \( x=a \) が定義域 \( 0\leqq x\leqq 2 \) の左外、内側、右外のどこにあるかで場合分けします。

最大値・最小値の問題では、先に値を代入するのではなく、まず「どの \( x \) で最大・最小になるか」を判断することが重要です。

解答

例題1

\[ y=x^2-4x+1 \]

を平方完成します。

\[ \begin{aligned} y&=x^2-4x+1\\ &=(x^2-4x+4)-4+1\\ &=(x-2)^2-3 \end{aligned} \]

よって、頂点は \( (2,-3) \)、軸は

\[ x=2 \]

です。

定義域は

\[ 0\leqq x\leqq 3 \]

です。軸 \( x=2 \) はこの定義域の中にあります。

下に凸のグラフなので、最小値は頂点でとります。

\[ x=2 \text{ のとき、最小値 } -3 \]

次に最大値を求めます。

下に凸のグラフでは、最大値は軸から遠い端点で決まります。端点は \( x=0 \) と \( x=3 \) です。

軸 \( x=2 \) からの距離を比べます。

\[ |0-2|=2,\qquad |3-2|=1 \]

したがって、\( x=0 \) の方が軸から遠いです。

実際に代入すると、

\[ y(0)=0^2-4\cdot 0+1=1 \]

よって、

\[ x=0 \text{ のとき、最大値 } 1 \]

答えは次の通りです。

\[ \boxed{x=0 \text{ のとき最大値 } 1,\quad x=2 \text{ のとき最小値 } -3} \]

基本的な数字での最大値・最小値が判断できたら、次は文字定数を含む場合分けに進む必要があります。MathGrAIlのAI演習では、二次関数の最大・最小について、自分の答案のどこで場合分けがずれたかを確認できます。

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例題2

\[ y=x^2-2ax+a^2+1 \]

を平方完成します。

\[ \begin{aligned} y&=x^2-2ax+a^2+1\\ &=(x-a)^2+1 \end{aligned} \]

よって、頂点は \( (a,1) \)、軸は

\[ x=a \]

です。

定義域は

\[ 0\leqq x\leqq 2 \]

です。

この問題は下に凸のグラフの最小値を求める問題なので、軸 \( x=a \) が定義域のどこにあるかで場合分けします。

1. 軸が定義域の左外にある場合

軸 \( x=a \) が定義域 \( 0\leqq x\leqq 2 \) の左外にある条件は、

\[ a<0 \]

です。

このとき、定義域内で軸に最も近い点は左端 \( x=0 \) です。

\[ y(0)=0^2-2a\cdot 0+a^2+1=a^2+1 \]

したがって、

\[ a<0 \text{ のとき、 } x=0 \text{ で最小値 } a^2+1 \]

2. 軸が定義域の中にある場合

軸 \( x=a \) が定義域の中にある条件は、

\[ 0\leqq a\leqq 2 \]

です。

このとき、頂点が定義域内にあるため、最小値は頂点でとります。

\[ y=(x-a)^2+1 \]

より、\( x=a \) のとき \( (x-a)^2=0 \) だから、

\[ 0\leqq a\leqq 2 \text{ のとき、 } x=a \text{ で最小値 } 1 \]

3. 軸が定義域の右外にある場合

軸 \( x=a \) が定義域の右外にある条件は、

\[ a>2 \]

です。

このとき、定義域内で軸に最も近い点は右端 \( x=2 \) です。

\[ \begin{aligned} y(2)&=2^2-2a\cdot 2+a^2+1\\ &=4-4a+a^2+1\\ &=a^2-4a+5\\ &=(a-2)^2+1 \end{aligned} \]

したがって、

\[ a>2 \text{ のとき、 } x=2 \text{ で最小値 } (a-2)^2+1 \]

以上より、最小値は次のようにまとめられます。

\[ \boxed{ \begin{cases} a^2+1 & (a<0)\\ 1 & (0\leqq a\leqq 2)\\ (a-2)^2+1 & (a>2) \end{cases} } \]

ただし、それぞれ最小値をとる \( x \) の値は、

\[ \begin{cases} x=0 & (a<0)\\ x=a & (0\leqq a\leqq 2)\\ x=2 & (a>2) \end{cases} \]

です。

解答の確認

例題1では、軸 \( x=2 \) が定義域 \( 0\leqq x\leqq 3 \) の中にあります。したがって、下に凸のグラフの最小値が頂点で決まる判断は正しいです。

また、最大値については、軸から遠い端点を確認しました。\( x=0 \) と \( x=3 \) の値を実際に比べると、

\[ y(0)=1,\qquad y(3)=9-12+1=-2 \]

であり、最大値が \( 1 \) になることが確認できます。

例題2では、場合分けが

\[ a<0,\quad 0\leqq a\leqq 2,\quad a>2 \]

となっています。これは、軸 \( x=a \) が定義域 \( 0\leqq x\leqq 2 \) の左外、内側、右外にある3パターンを漏れなく分けたものです。

境界の \( a=0 \) と \( a=2 \) は、軸がちょうど端点に一致する場合です。このときも頂点は定義域に含まれるため、中央の

\[ 0\leqq a\leqq 2 \]

に含めて問題ありません。

よくあるミス

ミス1：定義域の外にある頂点を答えてしまう

ミスの内容は、平方完成で頂点を求めたあと、定義域を確認せずにその値を最大値・最小値として答えてしまうことです。

例えば、\( y=(x-5)^2+1 \) の頂点は \( (5,1) \) です。しかし、定義域が \( 0\leqq x\leqq 2 \) なら、\( x=5 \) は定義域の外にあります。この場合、\( y=1 \) はその定義域ではとれません。

このミスは、「平方完成できたら頂点が答え」と覚えているために起きます。

正しい判断基準は、次の順番で確認することです。

  1. 頂点と軸を求めます。
  2. 軸が定義域に入っているか確認します。
  3. 定義域内で実際にとれる値だけを答えます。

最大値・最小値では、値をとる \( x \) が定義域に含まれているかを必ず確認する必要があります。

ミス2：最大値と最小値の場合分け基準を逆にする

ミスの内容は、下に凸のグラフの最大値でも、最小値と同じように「軸が定義域に入るか」だけで判断してしまうことです。

下に凸の場合、最小値は軸に近い点で決まります。一方、最大値は軸から遠い端点で決まります。

そのため、最大値では定義域の中央を見る必要があります。

定義域が \( \alpha\leqq x\leqq\beta \) のとき、中央は

\[ \frac{\alpha+\beta}{2} \]

です。

軸がこの中央より左にあれば右端が最大、中央より右にあれば左端が最大になります。

このミスは、最小値の3パターンをそのまま最大値にも使おうとするために起きます。

正しい判断基準は次の通りです。

求めるもの 下に凸で見る基準
最小値 軸が定義域のどこにあるか
最大値 軸が定義域の中央より左か右か

最大値と最小値では、同じ二次関数でも着眼点が異なります。

ミス3：最大値・最小値をとる \( x \) の値を書き忘れる

ミスの内容は、最大値や最小値の値だけを書き、そのときの \( x \) の値を書かないことです。

例えば、

\[ \text{最大値 }1,\quad \text{最小値 }-3 \]

だけでは、どの \( x \) でその値をとるのかが分かりません。

問題文に「そのときの \( x \) の値も求めよ」と明記されていない場合でも、記述答案では

\[ x=0 \text{ のとき最大値 }1,\quad x=2 \text{ のとき最小値 }-3 \]

のように書くのが安全です。

このミスは、最終的な値だけを答えとして見てしまうために起きます。

正しい判断基準は、答案を次の形で固定することです。

\[ x=\bigcirc \text{ のとき、最大値 } \triangle \]

または

\[ x=\bigcirc \text{ のとき、最小値 } \triangle \]

最大値・最小値の問題では、「値」と「その値をとる \( x \)」をセットで答える意識が必要です。

ミス4：場合分けの境界を重複・欠落させる

文字定数を含む問題では、境界の不等号を曖昧にすると減点されやすいです。

例えば、例題2では軸 \( x=a \) と定義域 \( 0\leqq x\leqq 2 \) の関係から、

\[ a<0,\quad 0\leqq a\leqq 2,\quad a>2 \]

と分けました。

ここで、

\[ a<0,\quad 0<a<2,\quad a>2 \]

としてしまうと、\( a=0 \) と \( a=2 \) が抜けます。

このミスは、境界が何を意味しているかを考えずに、感覚で不等号を書いているために起きます。

正しい判断基準は、境界が「軸が端点に一致する場合」を表すと理解することです。軸が端点に一致するなら、頂点は定義域に含まれます。したがって、例題2では \( 0\leqq a\leqq 2 \) に含めるのが自然です。

類題演習への接続

二次関数の最大値・最小値は、説明を読んだだけでは定着しにくいです。特に、文字定数を含む場合分けは、自分で条件式を立てる練習が必要です。

この記事を読んだあとに取り組むべき問題は、次の順番がよいです。

  1. 文字を含まない二次関数の最大値・最小値
  2. 軸が定義域内にあるかを判断する最小値問題
  3. 定義域の中央を使って判断する最大値問題
  4. 軸が文字定数で動く最大値・最小値問題
  5. 定義域の端点にも文字定数が含まれる問題

最大値で軸が文字定数によって動く問題では、定義域の中央と軸の位置関係で場合分けをします。最小値のように「軸が定義域に入るか」だけで分けると、判断を誤りやすいです。

MathGrAIlのAI演習では、二次関数の最大値・最小値について、次の点を確認できます。

  • 平方完成が正しくできているか
  • 軸と定義域の位置関係を正しく見ているか
  • 場合分けに漏れや重複がないか
  • 最大値と最小値の判断基準を取り違えていないか
  • 答案で「そのときの \( x \) の値」まで書けているか

文字定数を含む場合分けは、頭で理解するだけでは不十分です。実際に答案を書き、どこで不等号や境界の扱いがずれたかを確認する必要があります。

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まとめ

二次関数の最大値・最小値では、平方完成だけで答えを決めてはいけません。

重要なのは、平方完成で求めた軸と、定義域の位置関係を確認することです。

下に凸の二次関数では、次のように判断します。

求めるもの 判断基準
最小値 軸が定義域の左外・内側・右外のどこにあるか
最大値 軸が定義域の中央より左か右か

最小値は軸に近い点で決まります。最大値は軸から遠い端点で決まります。この違いを理解すれば、場合分けを丸暗記する必要はありません。

次に演習すべき内容は、文字定数を含む二次関数の最大値・最小値です。特に、軸が動く問題では、場合分けの条件式を自分で作れるかどうかが得点差になります。

MathGrAIlのAI演習では、自分の答案に対して、平方完成、場合分け、端点の比較のどこに誤りがあるかを確認できます。記事で理解した判断基準を、実際の問題で使える形にすることが重要です。

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