平方完成のやり方｜手順と例題で解説

はじめに

平方完成は、二次関数を学ぶときに必ず使う基本操作です。

ただし、平方完成でつまずく人の多くは、公式そのものを知らないというよりも、次の部分でミスをしています。

\( x \) の係数を半分にするところ
足して引く処理の意味
\( x^2 \) の係数が \( 1 \) でないときのくくり出し
平方完成後の式から頂点を読むときの符号

この記事では、平方完成を公式暗記ではなく、式変形の手順として説明します。

特に、基本形の \( x^2+bx+c \) 型と、係数がついた \( ax^2+bx+c \) 型を分けて扱います。途中式も省略せずに確認するので、符号ミスが起きる場所まで意識しながら読み進めてください。

基本事項

平方完成とは、二次式を次のような形に変形することです。

\[ a(x-p)^2+q \]

この形にすると、二次関数のグラフについて次の情報が読み取りやすくなります。

特徴	式の中の要素	読み取れる情報
頂点	\( p, q \)	点 \( (p,q) \)
軸	\( p \)	直線 \( x=p \)
グラフの向き	\( a \)	\( a>0 \) で下に凸、\( a<0 \) で上に凸

平方完成の出発点は、次の展開公式です。

\[ (x+m)^2=x^2+2mx+m^2 \]

この式を逆に見ると、

\[ x^2+2mx=(x+m)^2-m^2 \]

となります。

つまり、\( x^2 \) と \( x \) の項を見て、平方の形 \( (x+m)^2 \) を作るのが平方完成です。

「平方完成公式」として、一般に次の形を見かけることがあります。これは丸暗記しなくてよい公式です。

ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

ただし、この公式を丸暗記しようとすると、符号や分数でミスしやすくなります。実戦では、公式をそのまま使うよりも、「\( x \) の係数を半分にする」「足した分を引く」「必要なら先に \( x^2 \) の係数でくくる」という手順で覚える方が安定します。

ここで重要なのは、\( x \) の係数です。

たとえば、

\[ x^2-6x \]

では、\( x \) の係数は \( -6 \) です。

\( (x+m)^2=x^2+2mx+m^2 \) と比べると、

\[ 2m=-6 \]

なので、

\[ m=-3 \]

です。

したがって、

\[ x^2-6x \]

から作る平方の形は、

\[ (x-3)^2 \]

です。

ただし、

\[ (x-3)^2=x^2-6x+9 \]

なので、もとの \( x^2-6x \) よりも \( 9 \) だけ多くなっています。

そのため、増やした \( 9 \) を引いて、

\[ x^2-6x=(x-3)^2-9 \]

とします。

平方完成でよく使う「半分にして、2乗を足して引く」という処理は、勝手に増やした分を打ち消すための処理です。

解法の判断基準

平方完成では、最初に式の形を見て方針を決めます。

\( x^2+bx+c \) 型の場合

\( x^2 \) の係数が \( 1 \) のときは、次の手順で進めます。

\( x \) の係数を半分にします。
その数を使って \( (x+\text{半分})^2 \) を作ります。
勝手に増えた「半分の2乗」を引きます。
最後に定数項を計算します。

一般に、

\[ x^2+bx+c \]

は、次のように変形できます。

\begin{aligned} x^2+bx+c &=x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c\\ &=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c \end{aligned}

ただし、この記事ではこの公式を丸暗記するよりも、毎回「\( x \) の係数の半分を作る」と考えることを重視します。

\( ax^2+bx+c \) 型の場合

\( x^2 \) の係数が \( 1 \) ではないときは、最初に \( x^2 \) と \( x \) の項だけを \( a \) でくくります。

たとえば、

\[ -2x^2+8x-3 \]

なら、

\[ -2x^2+8x \]

の部分だけを \( -2 \) でくくります。

\[ -2x^2+8x=-2(x^2-4x) \]

ここで、定数項 \( -3 \) まで一緒にくくらないのが基本です。

理由は、平方完成で操作する中心が \( x^2 \) と \( x \) の項だからです。まず \( x^2 \) の係数を \( 1 \) にして、括弧の中で平方の形を作ります。定数項は、そのあとで外側の係数を分配して整理します。

つまり、

\[ ax^2+bx+c \]

では、

a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c

の形を作ってから、括弧の中を平方完成します。

このとき、特に \( a \) が負の数の場合は符号ミスが起きやすいため、くくった直後に展開して確認する必要があります。

また、\( b \) が \( a \) で割り切れないときは分数が出ますが、手順は同じです。分数になっても、\( x \) の係数を半分にして平方の形を作ります。

例題

問題

次の二次関数を平方完成しなさい。

\( y=x^2-6x+5 \)
\( y=-2x^2+8x-3 \)

方針

1つ目は \( x^2+bx+c \) 型です。\( x^2 \) の係数が \( 1 \) なので、\( x \) の係数 \( -6 \) の半分を使って平方の形を作ります。

2つ目は \( ax^2+bx+c \) 型です。\( x^2 \) の係数が \( -2 \) なので、最初に \( x^2 \) と \( x \) の項だけを \( -2 \) でくくります。その後、括弧の中で平方完成します。

解答

例題1：\( y=x^2-6x+5 \)

まず、\( x \) の係数 \( -6 \) の半分を考えます。

\frac{-6}{2}=-3

したがって、平方の形は \( (x-3)^2 \) です。

ただし、

\[ (x-3)^2=x^2-6x+9 \]

なので、\( x^2-6x \) に対して \( 9 \) が余分に増えています。

そのため、\( 9 \) を引いて調整します。まず平方の形を作り、残った定数を後ろでまとめます。

\begin{aligned} y &=x^2-6x+5\\ &=x^2-6x+9-9+5\\ &=(x-3)^2-9+5\\ &=(x-3)^2-4 \end{aligned}

よって、

\[ y=(x-3)^2-4 \]

です。

例題2：\( y=-2x^2+8x-3 \)

まず、\( x^2 \) と \( x \) の項だけを \( -2 \) でくくります。

\begin{aligned} y &=-2x^2+8x-3\\ &=-2(x^2-4x)-3 \end{aligned}

ここで、

\[ -2(x^2-4x)=-2x^2+8x \]

なので、くくり出しは正しくできています。

次に、括弧の中の

\[ x^2-4x \]

を平方完成します。

\( x \) の係数 \( -4 \) の半分は、

\frac{-4}{2}=-2

です。

したがって、平方の形は \( (x-2)^2 \) です。

ただし、

\[ (x-2)^2=x^2-4x+4 \]

なので、括弧の中では \( 4 \) が余分に増えます。

そのため、\( 4 \) を引いて調整します。

\begin{aligned} y &=-2(x^2-4x)-3\\ &=-2\left\{x^2-4x+4-4\right\}-3\\ &=-2\left\{(x-2)^2-4\right\}-3 \end{aligned}

ここで、外側の \( -2 \) を分配します。

\begin{aligned} y &=-2\left\{(x-2)^2-4\right\}-3\\ &=-2(x-2)^2+8-3\\ &=-2(x-2)^2+5 \end{aligned}

よって、

\[ y=-2(x-2)^2+5 \]

です。

解答の確認

例題1の答えを展開して確認します。

\begin{aligned} (x-3)^2-4 &=x^2-6x+9-4\\ &=x^2-6x+5 \end{aligned}

もとの式と一致します。

例題2の答えも展開して確認します。

\begin{aligned} -2(x-2)^2+5 &=-2(x^2-4x+4)+5\\ &=-2x^2+8x-8+5\\ &=-2x^2+8x-3 \end{aligned}

もとの式と一致します。

平方完成では、最後に展開して元の式に戻るかを確認すると、符号ミスを見つけやすくなります。

平方完成の手順は、二次関数の頂点や軸を読み取るだけでなく、最大値・最小値の問題にもつながります。次の段階として、二次関数の最大値・最小値の求め方も確認すると、平方完成を使う目的が整理しやすくなります。

平方完成の手順を理解したら、MathGrAIlの演習で1問解いてみましょう。符号ミスをしやすい途中式も、実際に手を動かすと確認しやすくなります。

MathGrAIlで平方完成の基礎問題を解いてみる

よくあるミス

ミス1：くくり出しで符号を間違える

たとえば、

\[ y=-2x^2+8x-3 \]

を平方完成するとき、

\[ -2x^2+8x=-2(x^2-4x) \]

とする必要があります。

しかし、次のようにしてしまうミスがあります。

\[ -2x^2+8x=-2(x^2+4x) \]

これは誤りです。

なぜなら、

\[ -2(x^2+4x)=-2x^2-8x \]

となり、もとの \( +8x \) に戻らないからです。

正しい判断基準は、くくり出した直後に一度展開して確認することです。

\[ -2(x^2-4x)=-2x^2+8x \]

この確認を入れるだけで、負の係数をくくるときのミスを減らせます。

ミス2：足して引く処理を片方だけにしてしまう

平方完成では、

\[ x^2-6x \]

を

\[ x^2-6x+9 \]

にするだけではいけません。

\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]

ですが、もとの式より \( 9 \) 増えています。

そのため、必ず同じ式の中で \( 9 \) を引きます。

\[ x^2-6x=x^2-6x+9-9=(x-3)^2-9 \]

ミスが起きる理由は、平方の形を作ることだけに意識が向き、式全体の値を変えてはいけないという点を忘れるためです。

正しい判断基準は、「勝手に足した分は、同じ式の中で必ず引く」と考えることです。

ミス3：頂点の符号をそのまま読んでしまう

平方完成した式が

\[ y=(x-2)^2+3 \]

のとき、頂点は \( (2,3) \) です。

ここで、括弧の中の \( -2 \) をそのまま読んで、頂点を \( (-2,3) \) とするのは誤りです。

頂点の \( x \) 座標は、括弧の中が \( 0 \) になる値です。

\[ x-2=0 \]

より、

\[ x=2 \]

です。

したがって、頂点の \( x \) 座標は \( 2 \) です。

正しい判断基準は、\( a(x-p)^2+q \) の形を見て、頂点を \( (p,q) \) と読むことです。符号を迷ったときは、「括弧の中が \( 0 \) になる \( x \)」を求めると安全です。

ミス4：外側の係数を定数部分に分配し忘れる

たとえば、

y=-2\left\{(x-2)^2-4\right\}-3

から、

\[ y=-2(x-2)^2-4-3 \]

としてしまうのは誤りです。

\( -4 \) は中括弧の中にあるので、外側の \( -2 \) を分配する必要があります。

正しくは、

\begin{aligned} y &=-2\left\{(x-2)^2-4\right\}-3\\ &=-2(x-2)^2+8-3\\ &=-2(x-2)^2+5 \end{aligned}

です。

正しい判断基準は、中括弧を外す前に「外側の係数がどこまでかかっているか」を確認することです。

類題演習への接続

平方完成は、読んで理解しただけでは計算ミスが残りやすい単元です。特に、次の順番で演習すると定着しやすくなります。

\( x^2+bx+c \) 型の平方完成
\( x \) の係数が負の数の平方完成
\( ax^2+bx+c \) 型の平方完成
\( a \) が負の数の場合の平方完成
平方完成後に頂点と軸を読み取る問題

MathGrAIlでは、記事で手順を理解したあと、ログイン後の演習画面で二次関数の基礎問題に取り組めます。途中式で符号を間違えた場合も、AI添削を使うことで、どの段階でずれたかを確認しやすくなります。

平方完成の手順を確認したら、MathGrAIlで演習するから、実際に手を動かして計算の精度を確認してください。

まとめ

平方完成で押さえるべき点は、次の通りです。

\( x^2+bx+c \) 型では、\( x \) の係数を半分にして平方の形を作る
勝手に足した2乗の分は、必ず同じ式の中で引く
\( ax^2+bx+c \) 型では、最初に \( x^2 \) と \( x \) の項だけを \( a \) でくくる
分数が出ても、平方完成の手順は変わらない
くくり出し後は、展開して元の式に戻るか確認する
頂点の \( x \) 座標は、括弧の中が \( 0 \) になる値として読む

平方完成は、二次関数のグラフ、頂点、軸、最大値・最小値の問題へつなげるための基本操作です。

記事で手順を理解したあとは、MathGrAIlで \( x^2+bx+c \) 型、\( ax^2+bx+c \) 型、頂点の読み取りまで順に練習してください。

MathGrAIlで演習する