解説

方針・初手

平均が $7$ であることから、8人の得点の合計はすぐに求まる。

また、分散が $3$ であることから、平均 $7$ からのずれの二乗の平均が $3$ である。したがって、ずれの二乗和を使えば $a,b$ を決定できる。

解法1

8人の平均が $7$ であるから、得点の合計は

$$ 8\times 7=56 $$

である。

一方、既知の6人の合計は

$$ 6+5+7+5+10+8=41 $$

であるから、

$$ a+b=56-41=15 $$

を得る。

次に、分散が $3$ であるから、平均 $7$ からのずれの二乗和は

$$ 8\times 3=24 $$

である。

既知の6人について、平均 $7$ からのずれの二乗は

$$ (6-7)^2=1,\quad (5-7)^2=4,\quad (7-7)^2=0,\quad (5-7)^2=4,\quad (10-7)^2=9,\quad (8-7)^2=1 $$

であり、その和は

$$ 1+4+0+4+9+1=19 $$

となる。

したがって、$a,b$ について

$$ (a-7)^2+(b-7)^2=24-19=5 $$

が成り立つ。

ここで

$$ x=a-7,\quad y=b-7 $$

とおくと、

$$ x+y=(a+b)-14=15-14=1 $$

かつ

$$ x^2+y^2=5 $$

である。

このとき

$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 $$

より、

$$ 1=5+2xy $$

したがって

$$ xy=-2 $$

である。

よって $x,y$ は

$$ t^2-(x+y)t+xy=0 $$

すなわち

$$ t^2-t-2=0 $$

の解であるから、

$$ (t-2)(t+1)=0 $$

より

$$ x=-1,\quad y=2 $$

である。

したがって

$$ a=7+(-1)=6,\quad b=7+2=9 $$

となる。条件 $a\leqq b$ も満たしている。

解説

平均からはまず合計を出すのが基本である。

また、分散は「平均からのずれの二乗の平均」なので、分散が分かっているときは二乗和に直すと扱いやすい。この問題では

$$ a+b $$

と

$$ (a-7)^2+(b-7)^2 $$

の2本立てで求めるのが自然である。

答え

$$ a=6,\quad b=9 $$