基礎問題集
数学1 データの分析「データの分析」の問題4 解説
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解説
方針・初手
標準偏差は分散の平方根であるから、まず分散が
$$ \left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4} $$
となる条件を立てる。
4個の値の平均を求め、分散の公式 「分散 $=$ 各値の2乗の平均 $-$ 平均の2乗」 を用いると計算が整理しやすい。
解法1
4個の値 $-2,1,2,m$ の平均を $\overline{x}$ とすると、
$$ \overline{x}=\frac{-2+1+2+m}{4}=\frac{m+1}{4} $$
である。
また、各値の2乗の平均は
$$ \frac{(-2)^2+1^2+2^2+m^2}{4} =\frac{4+1+4+m^2}{4} =\frac{m^2+9}{4} $$
である。
したがって分散は
$$ \frac{m^2+9}{4}-\left(\frac{m+1}{4}\right)^2 $$
となる。これが $\dfrac{25}{4}$ に等しいので、
$$ \frac{m^2+9}{4}-\left(\frac{m+1}{4}\right)^2=\frac{25}{4} $$
両辺を $16$ 倍すると、
$$ 4(m^2+9)-(m+1)^2=100 $$
これを整理して
$$ 4m^2+36-(m^2+2m+1)=100 $$
$$ 3m^2-2m+35=100 $$
$$ 3m^2-2m-65=0 $$
これを解くと、
$$ 3m^2-2m-65=(3m+13)(m-5)=0 $$
よって
$$ m=-\frac{13}{3},\ 5 $$
を得る。しかし、$m$ は整数であるから、
$$ m=5 $$
である。
解説
標準偏差が与えられたときは、まず分散に直して方程式を作るのが基本である。
この問題では、分散を
$$ \text{分散}=\text{2乗の平均}-\text{平均の2乗} $$
で処理すると、各偏差を1つずつ展開するよりも計算が簡潔になる。
最後に $m$ は整数という条件を見落とさないことが重要である。
答え
$$ m=5 $$