解説

方針・初手

平均値は「合計点÷人数」で求める。

標準偏差を求めるには，まず平均値 $\bar{x}$ を出し，次に分散

$$ \frac{1}{100}\sum (x-\bar{x})^2 $$

を計算して，最後に平方根をとればよい。

解法1

0点の人が25人，100点の人が75人であるから，合計点は

$$ 0\times 25+100\times 75=7500 $$

である。

したがって平均値は

$$ \bar{x}=\frac{7500}{100}=75 $$

となる。

次に分散を求める。

0点の人の偏差は $0-75=-75$，100点の人の偏差は $100-75=25$ であるから，

$$ \text{分散} =\frac{1}{100}\left\{25(0-75)^2+75(100-75)^2\right\} $$

である。

これを計算すると，

$$ \begin{aligned} \text{分散} &=\frac{1}{100}\left(25\cdot 75^2+75\cdot 25^2\right) \\ &=\frac{1}{100}\left(25\cdot 5625+75\cdot 625\right) \\ &=\frac{1}{100}(140625+46875) \\ &=\frac{187500}{100} \\ &=1875 \end{aligned} $$

よって標準偏差は

$$ \sqrt{1875}=\sqrt{625\cdot 3}=25\sqrt{3} $$

である。

解説

この問題は，データの種類が 0点 と 100点 の2つしかないので，1人ずつ書き並べずに，それぞれの人数を用いてまとめて計算するのが基本である。

平均値は重みつき平均として求め，標準偏差は「平均との差の2乗」の平均から出す。人数がまとまっているデータでは，この処理を素早くできることが重要である。

答え

平均値は

$$ 75 $$

標準偏差は

$$ 25\sqrt{3} $$

である。