解説

方針・初手

標準偏差 $s$ の定義から、

$$ s^2=\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}(x_i-\overline{x})^2 $$

である。したがって

$$ \sum_{i=1}^{15}(x_i-\overline{x})^2=15s^2 $$

が成り立つ。

各データの平均からのずれの二乗の総和が $15s^2$ に等しいことを用いれば、ある $x_i$ が大きく離れすぎることや、そのような $x_i$ が多数存在することは直ちに矛盾する。

解法1

標準偏差の定義より、

$$ \sum_{i=1}^{15}(x_i-\overline{x})^2=15s^2 $$

である。

**(1)**

$\lvert x_i-\overline{x}\rvert>4s$ をみたす $x_i$ が存在すると仮定する。

そのような添字を $k$ とすると、

$$ |x_k-\overline{x}|>4s $$

より、

$$ (x_k-\overline{x})^2>16s^2 $$

となる。

ところが、各項 $(x_i-\overline{x})^2$ はすべて $0$ 以上であるから、

$$ \sum_{i=1}^{15}(x_i-\overline{x})^2 \ge (x_k-\overline{x})^2>16s^2 $$

となる。

一方で、この総和は $15s^2$ に等しいので、

$$ 15s^2>16s^2 $$

となって矛盾する。

したがって、$\lvert x_i-\overline{x}\rvert>4s$ をみたす $x_i$ は存在しない。

**(2)**

$\lvert x_i-\overline{x}\rvert>2s$ をみたす $x_i$ が $4$ 個以上存在すると仮定する。

そのような $4$ 個を $x_{i_1},x_{i_2},x_{i_3},x_{i_4}$ とすると、それぞれについて

$$ |x_{i_j}-\overline{x}|>2s \qquad (j=1,2,3,4) $$

であるから、

$$ (x_{i_j}-\overline{x})^2>4s^2 \qquad (j=1,2,3,4) $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{15}(x_i-\overline{x})^2 &\ge \sum_{j=1}^{4}(x_{i_j}-\overline{x})^2 \\ &>4\cdot 4s^2\\ &=16s^2 \end{aligned} $$

となる。

しかし、左辺は $15s^2$ に等しいので矛盾する。

したがって、$\lvert x_i-\overline{x}\rvert>2s$ をみたす $x_i$ の個数は $3$ 以下である。

解説

この問題の本質は、標準偏差の定義が「平均からのずれの二乗の平均」であることである。

したがって、あるデータが平均から大きく離れていれば、その二乗が総和 $\sum (x_i-\overline{x})^2=15s^2$ を大きく押し上げる。ところが総和は $15s^2$ と決まっているので、離れすぎるデータは存在できず、またそのようなデータが多く存在することもできない。

（1） は「1個でも $4s$ を超えて離れると総和が $16s^2$ を超えてしまう」という見方であり、（2） は「$2s$ を超えて離れるものが4個あると、それだけで総和が $16s^2$ を超える」という見方である。どちらも同じ発想で処理できる。

答え

$$ \sum_{i=1}^{15}(x_i-\overline{x})^2=15s^2 $$

を用いると、

$\lvert x_i-\overline{x}\rvert>4s$ をみたす $x_i$ は存在しない。

$\lvert x_i-\overline{x}\rvert>2s$ をみたす $x_i$ の個数は $3$ 以下である。