解説

方針・初手

集団全体の平均値は、各グループの平均値の加重平均で求める。

また、分散は各グループの分散をそのまま平均するだけでは求まらない。全体の平均値と各グループの平均値が異なるため、そのずれも考慮する必要がある。そこで、まず全体の平均値を求め、次に

$$ \text{分散}=\frac{1}{N}\sum (x-\text{全体平均})^2 $$

の考え方で整理する。

解法1

A の個数は $20$、平均値は $16$、B の個数は $60$、平均値は $12$ であるから、全体の個数は

$$ 20+60=80 $$

である。

したがって、全体の平均値は

$$ \frac{20\cdot 16+60\cdot 12}{80} =\frac{320+720}{80} =\frac{1040}{80} =13 $$

となる。

次に分散を求める。

各グループについて、平均との差の二乗の平均は「分散」であるから、二乗平均は

$$ \text{二乗平均}=\text{分散}+(\text{平均値})^2 $$

で求められる。

よって、A の二乗平均は

$$ 24+16^2=24+256=280 $$

B の二乗平均は

$$ 28+12^2=28+144=172 $$

である。

したがって、全体の二乗平均はこれらの加重平均より

$$ \frac{20\cdot 280+60\cdot 172}{80} =\frac{5600+10320}{80} =\frac{15920}{80} =199 $$

となる。

ゆえに、全体の分散は

$$ 199-13^2=199-169=30 $$

である。

解説

平均値は各グループの平均の加重平均でよいが、分散は単純に

$$ \frac{20\cdot 24+60\cdot 28}{80} $$

とはならない点が重要である。

これは、A と B の平均値がそれぞれ $16,12$ であり、全体平均 $13$ からずれているためである。そのずれによるばらつきも分散に含まれる。

この種の問題では、二乗平均を用いて

$$ \text{分散}=\text{二乗平均}-(\text{平均値})^2 $$

と処理すると確実である。

答え

平均値は $13$、分散は $30$ である。

したがって、

$$ \boxed{\text{ウ}=13,\ \text{エ}=30} $$