解説

方針・初手

$V$ は分散に $n$ を掛けた形であり，

$$ V=\sum_{i=1}^n x_i^2-n\bar{x}^2 $$

と変形できる。したがって，まず $\sum x_i$ と $\sum x_i^2$ を $p,q$ で表すのが初手である。

そのうえで，$V$ を $p,q$ の式に直し，最大値を調べる。

解法1

$x_i=2$ であるものが $p$ 個，$x_i=1$ であるものが $q$ 個であるから，$x_i=0$ であるものは $n-p-q$ 個である。

したがって，

$$ \sum_{i=1}^n x_i=2p+q $$

であり，

$$ \bar{x}=\frac{1}{n}(2p+q) $$

となる。よって空欄は

**(イ)**

$2$, （ロ） $1$

である。

次に，

$$ V=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 $$

を展開すると，

$$ \begin{aligned} V &=\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2\right) \\ &=\sum_{i=1}^n x_i^2-2\bar{x}\sum_{i=1}^n x_i+n\bar{x}^2 \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ \sum_{i=1}^n x_i^2=2^2\cdot p+1^2\cdot q=4p+q $$

かつ

$$ \sum_{i=1}^n x_i=n\bar{x} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} V &=(4p+q)-2\bar{x}\cdot n\bar{x}+n\bar{x}^2 \\ &=4p+q-n\bar{x}^2 \end{aligned} $$

となる。

したがって空欄は

（ハ） $4$, （ニ） $1$, （ホ） $-n$

である。

以上より，

$$ \bar{x}=\frac{1}{n}(2p+q), \qquad V=4p+q-n\bar{x}^2 $$

である。

次に $V$ の最大値を求める。

上の式に $\bar{x}=\dfrac{2p+q}{n}$ を代入すると，

$$ V=4p+q-\frac{(2p+q)^2}{n} $$

となる。ここで

$$ s=2p+q $$

とおくと，

$$ V=2s-q-\frac{s^2}{n} $$

である。

（i） $n$ が偶数のとき

$q\geqq 0$ であるから，

$$ V\leqq 2s-\frac{s^2}{n} $$

である。右辺を平方完成すると，

$$ \begin{aligned} 2s-\frac{s^2}{n} &= n-\frac{(s-n)^2}{n} \leqq n \end{aligned} $$

となる。

等号成立には

$$ q=0,\qquad s=n $$

が必要である。$s=2p+q$ で $q=0$ だから $2p=n$，すなわち

$$ p=\frac{n}{2},\qquad q=0 $$

のとき $V=n$ となる。

（ii） $n$ が奇数のとき

まず $n=1$ のときはデータが1個だけなので常に $V=0$ であり，最大値も $0$ である。この場合は

$$ (p,q)=(0,0),(0,1),(1,0) $$

のいずれでも最大となる。

以下，$n\geqq 3$ とする。

このとき $q=0$ なら $s=2p$ は偶数である。したがって $s=n$ は不可能であり，偶数の $s$ で $n$ に最も近いものは

$$ s=n-1,\qquad s=n+1 $$

である。

まず $q=0$ のとき，

$$ \begin{aligned} V=2s-\frac{s^2}{n} &= n-\frac{(s-n)^2}{n} \end{aligned} $$

であるから，最大値は

$$ s=n\pm 1 $$

のときに生じ，

$$ V=n-\frac{1}{n} $$

となる。このとき

$$ 2p=s=n\pm 1 $$

より，

$$ p=\frac{n-1}{2}\ \text{または}\ \frac{n+1}{2},\qquad q=0 $$

である。

一方，$q\geqq 1$ なら

$$ V=2s-q-\frac{s^2}{n}\leqq 2s-1-\frac{s^2}{n} $$

であり，

$$ \begin{aligned} 2s-1-\frac{s^2}{n} &= n-1-\frac{(s-n)^2}{n} \leqq n-1 \end{aligned} $$

となる。よって

$$ n-1<n-\frac{1}{n} $$

であるから，$q\geqq 1$ の場合は最大にならない。

したがって $n\geqq 3$ が奇数のときの最大値は

$$ n-\frac{1}{n} $$

であり，そのとき

$$ p=\frac{n-1}{2}\ \text{または}\ \frac{n+1}{2},\qquad q=0 $$

である。

解説

まず $\sum x_i$ と $\sum x_i^2$ を数え上げると，$\bar{x}$ と $V$ がすぐに式で表せる。ここで

$$ V=\sum x_i^2-n\bar{x}^2 $$

という形にしておくと，最大値問題が扱いやすくなる。

最大値については，$x_i$ が $0,1,2$ のいずれかであることから，ばらつきを大きくするには値を端の $0$ と $2$ に寄せるのが有利である。実際，最大となるのは $q=0$ のときであり，$0$ と $2$ ができるだけ半々になる場合である。$n$ が偶数ならちょうど半々にでき，$n$ が奇数なら半々に最も近い分け方になる。

答え

$$ \bar{x}=\frac{1}{n}(2p+q),\qquad V=4p+q-n\bar{x}^2 $$

したがって空欄は

$$ \text{イ}=2,\quad \text{ロ}=1,\quad \text{ハ}=4,\quad \text{ニ}=1,\quad \text{ホ}=-n $$

である。

また，$V$ の最大値は

**(i)**

$n$ が偶数のとき

$$ p=\frac{n}{2},\qquad q=0,\qquad V_{\max}=n $$

**(ii)**

$n$ が奇数のとき

ただし $n=1$ のときは

$$ (p,q)=(0,0),(0,1),(1,0),\qquad V_{\max}=0 $$

である。$n\geqq 3$ のときは

$$ p=\frac{n-1}{2}\ \text{または}\ \frac{n+1}{2},\qquad q=0,\qquad V_{\max}=n-\frac{1}{n} $$

である。