基礎問題集
数学1 データの分析「データの分析」の問題9 解説
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解説
方針・初手
平均値と標準偏差の定義をそのまま式に直すのが最も速い。
平均値が $14$ であるから
$$ a+b+c=42 $$
である。
さらに，標準偏差が $8$ であることから，分散は $64$ である。したがって
$$ \frac{(a-14)^2+(b-14)^2+(c-14)^2}{3}=64 $$
を用いて $a^2+b^2+c^2$ を求め，その後 $(a+b+c)^2$ を使って $ab+bc+ca$ を求める。
解法1
標準偏差が $8$ なので，分散は $8^2=64$ である。よって
$$ \frac{(a-14)^2+(b-14)^2+(c-14)^2}{3}=64 $$
すなわち
$$ (a-14)^2+(b-14)^2+(c-14)^2=192 $$
である。
これを展開すると
$$ (a^2+b^2+c^2)-28(a+b+c)+3\cdot 14^2=192 $$
となる。ここで $a+b+c=42$ より
$$ a^2+b^2+c^2-28\cdot 42+3\cdot 196=192 $$
$$ a^2+b^2+c^2-1176+588=192 $$
$$ a^2+b^2+c^2=780 $$
したがって
$$ \boxed{ア=780} $$
である。
次に，
$$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) $$
を用いる。$a+b+c=42$，$a^2+b^2+c^2=780$ であるから
$$ 42^2=780+2(ab+bc+ca) $$
$$ 1764=780+2(ab+bc+ca) $$
$$ 2(ab+bc+ca)=984 $$
$$ ab+bc+ca=492 $$
よって
$$ \boxed{イ=492} $$
である。
解説
この問題では，標準偏差の情報を「偏差平方和」に直すことが核心である。
平均値が分かっていると，標準偏差の式から直接 $a^2+b^2+c^2$ が求まり，さらに和の平方
$$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) $$
を使えば $ab+bc+ca$ も一気に決まる。統計と対称式を結びつける典型的な処理である。
答え
$$ \boxed{\text{ア}=780,\ \text{イ}=492} $$