解説

方針・初手

相関係数は

$$ r=\frac{\text{共分散}}{\sqrt{\text{分散}}\sqrt{\text{分散}}} $$

で求める。まず A～D の 4 名について平均・分散・共分散を計算する。

(2) では，5 名分の平均を $x,y$ を用いて表し，分散と共分散を公式

$$ \text{分散}=\frac{1}{n}\sum a_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum a_i\right)^2 $$

を使って整理するのが最も速い。相関係数が $0$ となる条件は分子 $=0$ に帰着するので，そこを因数分解して整数解を数える。

解法1

まず，A～D の数学の得点を $X$，英語の得点を $Y$ とする。

数学の平均は

$$ \frac{1+3+6+10}{4}=5 $$

英語の平均も

$$ \frac{3+7+2+8}{4}=5 $$

である。

したがって，偏差は

• 数学：$-4,-2,1,5$
• 英語：$-2,2,-3,3$

である。

よって，数学の分散は

$$ \frac{(-4)^2+(-2)^2+1^2+5^2}{4} =\frac{16+4+1+25}{4} =\frac{46}{4} =\frac{23}{2} $$

英語の分散は

$$ \frac{(-2)^2+2^2+(-3)^2+3^2}{4} =\frac{4+4+9+9}{4} =\frac{26}{4} =\frac{13}{2} $$

共分散は

$$ \frac{(-4)(-2)+(-2)(2)+1(-3)+5(3)}{4} =\frac{8-4-3+15}{4} =\frac{16}{4} =4 $$

したがって，相関係数は

$$ r=\frac{4}{\sqrt{\frac{23}{2}}\sqrt{\frac{13}{2}}} =\frac{8}{\sqrt{299}} $$

である。よって

$$ \boxed{\text{ア}=\frac{8}{\sqrt{299}}} $$

である。

次に，E の数学・英語の得点をそれぞれ $x,y$ とする。

5名の数学の分散

数学の得点の和は $20+x$，2 乗和は

$$ 1^2+3^2+6^2+10^2+x^2=146+x^2 $$

であるから，分散は

$$ \frac{146+x^2}{5}-\left(\frac{20+x}{5}\right)^2 $$

これを整理して

$$ \frac{5(146+x^2)-(20+x)^2}{25} =\frac{730+5x^2-(400+40x+x^2)}{25} =\frac{4x^2-40x+330}{25} $$

となる。よって

$$ \boxed{\text{イ}=\frac{4x^2-40x+330}{25}} $$

である。

5名の英語の分散

英語の得点の和は $20+y$，2 乗和は

$$ 3^2+7^2+2^2+8^2+y^2=126+y^2 $$

であるから，分散は

$$ \frac{126+y^2}{5}-\left(\frac{20+y}{5}\right)^2 $$

これを整理して

$$ \frac{5(126+y^2)-(20+y)^2}{25} =\frac{630+5y^2-(400+40y+y^2)}{25} =\frac{4y^2-40y+230}{25} $$

となる。よって

$$ \boxed{\text{ウ}=\frac{4y^2-40y+230}{25}} $$

である。

5名の相関係数

まず，共分散を求める。

積の和は

$$ 1\cdot 3+3\cdot 7+6\cdot 2+10\cdot 8+xy =3+21+12+80+xy =116+xy $$

したがって，共分散は

$$ \frac{116+xy}{5}-\frac{20+x}{5}\cdot\frac{20+y}{5} $$

であり，整理すると

$$ \frac{5(116+xy)-(20+x)(20+y)}{25} =\frac{580+5xy-(400+20x+20y+xy)}{25} =\frac{4xy-20x-20y+180}{25} $$

よって相関係数は

$$ \begin{aligned} r= \frac{\frac{4xy-20x-20y+180}{25}} {\sqrt{\frac{4x^2-40x+330}{25}}\sqrt{\frac{4y^2-40y+230}{25}}} &= \frac{4xy-20x-20y+180} {\sqrt{4x^2-40x+330}\sqrt{4y^2-40y+230}} \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \boxed{\text{エ}=4xy-20x-20y+180} $$

$$ \boxed{\text{オ}=4x^2-40x+330} $$

$$ \boxed{\text{カ}=4y^2-40y+230} $$

である。

$x=5,\ y=5$ のとき

これは A～D の平均点に等しい場合であるから，

$$ r= \frac{4\cdot 5\cdot 5-20\cdot 5-20\cdot 5+180} {\sqrt{4\cdot 5^2-40\cdot 5+330}\sqrt{4\cdot 5^2-40\cdot 5+230}} $$

すなわち

$$ r=\frac{80}{\sqrt{230}\sqrt{130}} =\frac{80}{10\sqrt{299}} =\frac{8}{\sqrt{299}} $$

である。よって

$$ \boxed{\text{キ}=\frac{8}{\sqrt{299}}} $$

である。

$r=0$ となる $(x,y)$ の個数

分母は

$$ 4x^2-40x+330=4(x-5)^2+230>0 $$

$$ 4y^2-40y+230=4(y-5)^2+130>0 $$

より常に正である。したがって $r=0$ となるのは分子が $0$ のときに限る。

$$ 4xy-20x-20y+180=0 $$

$$ xy-5x-5y+45=0 $$

$$ (x-5)(y-5)=-20 $$

ここで $x,y$ は $0$ から $10$ までの整数であるから，$x-5,\ y-5$ は $-5$ から $5$ までの整数である。

この範囲で積が $-20$ になる組は

$$ (4,-5),(5,-4),(-4,5),(-5,4) $$

の 4 通りである。したがって

$$ (x,y)=(9,0),(10,1),(1,10),(0,9) $$

の 4 通りであり，

$$ \boxed{\text{ク}=4} $$

である。

このうち $x+y$ が最大となるのは

$$ (10,1),\ (1,10) $$

である。条件 $\text{ケ}>\text{コ}$ より

$$ \boxed{\text{ケ}=10,\ \text{コ}=1} $$

となる。

$x=y=\text{ケ}=10$ のとき

$$ r= \frac{4\cdot 10\cdot 10-20\cdot 10-20\cdot 10+180} {\sqrt{4\cdot 10^2-40\cdot 10+330}\sqrt{4\cdot 10^2-40\cdot 10+230}} $$

$$ =\frac{180}{\sqrt{330}\sqrt{230}} =\frac{180}{10\sqrt{759}} =\frac{18}{\sqrt{759}} $$

よって

$$ \boxed{\text{サ}=\frac{18}{\sqrt{759}}} $$

である。

解説

この問題の要点は，分散・共分散を「偏差の定義」から毎回計算するのではなく，

$$ \text{分散}=\frac{1}{n}\sum a_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum a_i\right)^2 $$

を使って機械的に整理することである。

また，$r=0$ の条件では分母は常に正であることを確認したうえで，分子のみを見ればよい。分子が

$$ 4xy-20x-20y+180=4{(x-5)(y-5)+20} $$

と因数分解できるため，整数解の個数の問題に落ちる。この変形に気づけるかどうかが勝負である。

答え

$$ \text{ア}=\frac{8}{\sqrt{299}},\quad \text{イ}=\frac{4x^2-40x+330}{25},\quad \text{ウ}=\frac{4y^2-40y+230}{25} $$

$$ \text{エ}=4xy-20x-20y+180,\quad \text{オ}=4x^2-40x+330,\quad \text{カ}=4y^2-40y+230 $$

$$ \text{キ}=\frac{8}{\sqrt{299}},\quad \text{ク}=4,\quad \text{ケ}=10,\quad \text{コ}=1,\quad \text{サ}=\frac{18}{\sqrt{759}} $$