解説

方針・初手

$y_i=4x_i-2$ を各データに適用すると、平均値はそのまま和をとれば求まり、標準偏差は平均からの偏差に直して考えるとよい。

後半は、偏差 $d_i=x_i-\bar{x}$ について

$$ \sum_{i=1}^n d_i^2 = n s_x^2 $$

が成り立つことを用いる。$|d_i|>2s_x$ を満たすものが2個あるなら、二乗和がどれだけ大きくなるかを見れば $n$ の下限が分かる。

解法1

まず、$y_i=4x_i-2$ であるから、$y_1,y_2,\dots,y_n$ の平均値 $\bar{y}$ は

$$ \bar{y} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (4x_i-2) =4\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right)-2 =4\bar{x}-2 $$

となる。よって

$$ \boxed{\bar{y}=4\bar{x}-2} $$

である。

次に、各 $i$ について

$$ y_i-\bar{y} =(4x_i-2)-(4\bar{x}-2) =4(x_i-\bar{x}) $$

であるから、

$$ \begin{aligned} s_y^2 &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2 \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {4(x_i-\bar{x})}^2 \\ &=16\cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \\ &=16s_x^2 \end{aligned} $$

したがって標準偏差は正であることに注意して

$$ \boxed{s_y=4s_x} $$

となる。

次に、$d_i=x_i-\bar{x}$ とおく。標準偏差の定義より

$$ s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i^2 $$

であるから、

$$ \sum_{i=1}^n d_i^2 = ns_x^2 $$

が成り立つ。

ここで、$|d_i|>2s_x$ を満たす $i$ が2個あるとする。この2個を $i=a,b$ とすれば、

$$ d_a^2>(2s_x)^2=4s_x^2,\qquad d_b^2>(2s_x)^2=4s_x^2 $$

である。したがって

$$ \sum_{i=1}^n d_i^2 > 8s_x^2 $$

となる。一方で $\sum_{i=1}^n d_i^2 = ns_x^2$ であるから、

$$ ns_x^2>8s_x^2 $$

を得る。ここで $|d_i|>2s_x$ を満たす偏差が存在する以上、$s_x=0$ はありえないので、$s_x^2>0$ である。よって両辺を $s_x^2$ で割って

$$ n>8 $$

すなわち

$$ n\geqq 9 $$

である。

さらに、この下限 $9$ は実際に実現できる。例えば

$$ x_1=2,\quad x_2=-2,\quad x_3=\cdots=x_9=0 $$

とすると、平均値は $0$ であり、偏差は $2,-2,0,\dots,0$ である。したがって

$$ s_x^2=\frac{2^2+(-2)^2}{9}=\frac{8}{9} $$

より

$$ 2s_x=2\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}<2 $$

となるので、$|d_1|=|d_2|=2>2s_x$ が成り立つ。したがって $n=9$ は実際に可能であり、$n\geqq 9$ が求める範囲である。

よって

$$ \boxed{\text{ウ}=9} $$

である。

解説

前半は、データを $y=4x-2$ のように一次変換したとき、平均値は同じ一次変換を受け、標準偏差は平行移動では変わらず、倍率 $4$ だけ拡大されることを使う典型問題である。

後半は、偏差の二乗和が $ns_x^2$ に等しいことが本質である。$|d_i|>2s_x$ のものが2個あれば、その2個だけで二乗和が $8s_x^2$ を超えるので、全体の二乗和 $ns_x^2$ はそれより大きくなければならない。この比較により $n>8$ が直ちに出る。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=4\bar{x}-2,\qquad \text{イ}=4s_x,\qquad \text{ウ}=9} $$