解説

方針・初手

絶対値記号を含む不等式 $|2x-1| < x+1$ を解く問題である。

方針としては主に2つの方法が考えられる。1つは絶対値の定義に従って絶対値記号の中身の符号で場合分けをする方法、もう1つは $|A| < B \iff -B < A < B$ という絶対値の性質を利用して連立不等式に帰着させる方法である。どちらを選択してもよいが、後者の方が記述が短く簡潔に済む。

解法1

不等式 $|2x-1| < x+1$ について、$|A| < B \iff -B < A < B$ の関係を用いる。

与えられた不等式は、以下の連立不等式と同値である。

$$ -(x+1) < 2x-1 < x+1 $$

これを2つの不等式に分けて解く。

$$ \begin{cases} -(x+1) < 2x-1 \quad \cdots ① \\ 2x-1 < x+1 \quad \cdots ② \end{cases} $$

①より、

$$ -x-1 < 2x-1 $$

$$ -3x < 0 $$

$$ x > 0 $$

②より、

$$ x < 2 $$

①と②の共通範囲を求めて、

$$ 0 < x < 2 $$

解法2

絶対値記号の中身である $2x-1$ の符号によって場合分けを行う。

**(i)** $2x-1 \geqq 0$ すなわち $x \geqq \frac{1}{2}$ のとき

絶対値記号はそのまま外れるので、与式は次のようになる。

$$ 2x-1 < x+1 $$

$$ x < 2 $$

場合分けの条件 $x \geqq \frac{1}{2}$ との共通範囲をとって、

$$ \frac{1}{2} \leqq x < 2 \quad \cdots ③ $$

**(ii)** $2x-1 < 0$ すなわち $x < \frac{1}{2}$ のとき

絶対値記号はマイナスをつけて外れるので、与式は次のようになる。

$$ -(2x-1) < x+1 $$

$$ -2x+1 < x+1 $$

$$ -3x < 0 $$

$$ x > 0 $$

場合分けの条件 $x < \frac{1}{2}$ との共通範囲をとって、

$$ 0 < x < \frac{1}{2} \quad \cdots ④ $$

**(i)**, **(ii)** より、③と④の範囲を合わせたものが求める解となる。

$$ 0 < x < 2 $$

解説

絶対値を含む不等式の基本問題である。

解法2のように場合分けを行うのが原則であるが、本問のような $|X| < Y$ の形をした不等式においては、解法1のように $-Y < X < Y$ に変形して解くことで、場合分けの手間を省き計算ミスを減らすことができる。

なお、解法1において $X$ に絶対値がついているため左辺の $|2x-1|$ は $0$ 以上であり、不等式が成り立つためには右辺の $x+1$ が正であることが前提となる。しかし、$- (x+1) < 2x-1 < x+1$ という連立不等式を解く過程で、左側の不等式から $x > 0$ が導かれ、結果として $x+1 > 0$ という条件は自然に満たされるため、答案上で特に言及する必要はない。

答え

$0 < x < 2$