解説

方針・初手

与えられた不等式 $0 < |x^2 - 4| - 2x - 3$ を移項し、$|x^2 - 4| > 2x + 3$ の形に変形してから考える。絶対値記号を含む不等式を解くための基本方針として、絶対値の中身の正負による場合分けを行う。また、関数 $y = |x^2 - 4|$ のグラフと直線 $y = 2x + 3$ の上下関係を利用して視覚的に解くことも可能である。

解法1

与えられた不等式を変形すると

$$ |x^2 - 4| > 2x + 3 $$

となる。絶対値の中身 $x^2 - 4$ の正負によって場合分けを行う。

**(i)** $x^2 - 4 \geqq 0$ すなわち $x \leqq -2, 2 \leqq x$ のとき

不等式は絶対値記号をそのまま外すことができ、以下のようになる。

$$ x^2 - 4 > 2x + 3 $$

整理すると

$$ x^2 - 2x - 7 > 0 $$

方程式 $x^2 - 2x - 7 = 0$ の解は解の公式より $x = 1 \pm 2\sqrt{2}$ であるから、この2次不等式の解は

$$ x < 1 - 2\sqrt{2}, \quad 1 + 2\sqrt{2} < x $$

ここで、$\sqrt{8} \approx 2.82$ より $1 - 2\sqrt{2} \approx -1.82$ である。したがって $-2 < 1 - 2\sqrt{2}$ となるため、場合分けの条件 $x \leqq -2, 2 \leqq x$ との共通範囲を求めると

$$ x \leqq -2, \quad 1 + 2\sqrt{2} < x $$

**(ii)** $x^2 - 4 < 0$ すなわち $-2 < x < 2$ のとき

不等式は絶対値記号の中身に負の符号をつけて外すことになり、以下のようになる。

$$ -(x^2 - 4) > 2x + 3 $$

整理すると

$$ x^2 + 2x - 1 < 0 $$

方程式 $x^2 + 2x - 1 = 0$ の解は解の公式より $x = -1 \pm \sqrt{2}$ であるから、この2次不等式の解は

$$ -1 - \sqrt{2} < x < -1 + \sqrt{2} $$

ここで、$\sqrt{2} \approx 1.41$ より $-1 - \sqrt{2} \approx -2.41$、$-1 + \sqrt{2} \approx 0.41$ である。場合分けの条件 $-2 < x < 2$ との共通範囲を求めると

$$ -2 < x < -1 + \sqrt{2} $$

**(i)** と **(ii)** で求めた範囲を合わせると、$x \leqq -2$ と $-2 < x < -1 + \sqrt{2}$ が連続的につながるため、求める解は

$$ x < -1 + \sqrt{2}, \quad 1 + 2\sqrt{2} < x $$

解法2

与えられた不等式を変形して

$$ |x^2 - 4| > 2x + 3 $$

とする。この不等式の解は、関数 $y = |x^2 - 4|$ のグラフが直線 $y = 2x + 3$ のグラフよりも上側にあるような $x$ の値の範囲を求めることと同値である。

関数 $y = |x^2 - 4|$ のグラフと $y = 2x + 3$ のグラフの共有点の $x$ 座標を求める。

**(i)** $x \leqq -2, 2 \leqq x$ の区間での共有点

この区間では $y = x^2 - 4$ であるから、方程式 $x^2 - 4 = 2x + 3$ を解く。

$$ x^2 - 2x - 7 = 0 $$

これを解いて $x = 1 \pm 2\sqrt{2}$ を得る。区間の条件 $x \leqq -2, 2 \leqq x$ を満たすか確認すると、$1 - 2\sqrt{2} \approx -1.82$ は満たさず、$1 + 2\sqrt{2} \approx 3.82$ は満たす。よって、この区間における共有点の $x$ 座標は $x = 1 + 2\sqrt{2}$ のみである。

**(ii)** $-2 < x < 2$ の区間での共有点

この区間では $y = -x^2 + 4$ であるから、方程式 $-x^2 + 4 = 2x + 3$ を解く。

$$ x^2 + 2x - 1 = 0 $$

これを解いて $x = -1 \pm \sqrt{2}$ を得る。区間の条件 $-2 < x < 2$ を満たすか確認すると、$-1 - \sqrt{2} \approx -2.41$ は満たさず、$-1 + \sqrt{2} \approx 0.41$ は満たす。よって、この区間における共有点の $x$ 座標は $x = -1 + \sqrt{2}$ のみである。

グラフの概形を考えると、$x \leqq -2$ の範囲では常に $y = x^2 - 4$ のグラフが $y = 2x + 3$ より上側にあり、その後 $x = -1 + \sqrt{2}$ で直線が上側に出る。再び $x = 1 + 2\sqrt{2}$ で交わり、それ以降は $y = x^2 - 4$ のグラフが上側になる。

したがって、$y = |x^2 - 4|$ のグラフが直線 $y = 2x + 3$ よりも上側にある $x$ の範囲は

$$ x < -1 + \sqrt{2}, \quad 1 + 2\sqrt{2} < x $$

解説

絶対値を含む不等式の最も確実で基本的な解法は、絶対値の中身の正負によって場合分けをすることである。本問では場合分けした後の各区間において、求めた不等式の解と場合分けの条件との共通範囲を正しく取ることが重要となる。

共通範囲を求める際には、$\sqrt{2} \approx 1.41$ や $\sqrt{8} \approx 2.82$ のような平方根の近似値を用いて、数値の大小関係を正確に把握することがポイントである。また、解法2のようにグラフの上下関係を利用する視点を併せ持つことで、計算による解法の見通しを良くしたり、ミスを防ぐための検算として活用することができる。

答え

$x < -1 + \sqrt{2}, \quad 1 + 2\sqrt{2} < x$