解説

方針・初手

絶対値記号を含む不等式であるから、絶対値記号の中身の正負によって場合分けをして、絶対値を外すのが基本方針である。

本問では、絶対値記号の中身が $x-1$ と $x-2$ である。これらが $0$ になるのはそれぞれ $x=1$ と $x=2$ のときである。したがって、数直線を $x<1$、$1 \leqq x < 2$、$x \geqq 2$ の3つの区間に分けて考える。

解法1

与えられた不等式は以下の通りである。

$$ -x^2 + 3x + 7 \geqq |x - 1| + |x - 2| $$

絶対値記号の中の式の符号によって、以下の3つの場合に分ける。

**(i)** $x < 1$ のとき

$x - 1 < 0$ かつ $x - 2 < 0$ であるから、$|x - 1| = -(x - 1)$、$|x - 2| = -(x - 2)$ となる。 したがって、与えられた不等式は次のようになる。

$$ -x^2 + 3x + 7 \geqq -(x - 1) - (x - 2) $$

$$ -x^2 + 3x + 7 \geqq -2x + 3 $$

整理すると、

$$ x^2 - 5x - 4 \leqq 0 $$

$x^2 - 5x - 4 = 0$ の解は解の公式より $x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$ であるから、この2次不等式の解は、

$$ \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \leqq x \leqq \frac{5 + \sqrt{41}}{2} $$

ここで、$6 < \sqrt{41} < 7$ であるから、$-2 < 5 - \sqrt{41} < -1$ より $\frac{5 - \sqrt{41}}{2}$ は負の値であり、また $11 < 5 + \sqrt{41} < 12$ より $\frac{5 + \sqrt{41}}{2} > 1$ である。 したがって、場合分けの条件 $x < 1$ との共通範囲をとると、

$$ \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \leqq x < 1 \quad \cdots \text{①} $$

**(ii)** $1 \leqq x < 2$ のとき

$x - 1 \geqq 0$ かつ $x - 2 < 0$ であるから、$|x - 1| = x - 1$、$|x - 2| = -(x - 2)$ となる。 したがって、与えられた不等式は次のようになる。

$$ -x^2 + 3x + 7 \geqq (x - 1) - (x - 2) $$

$$ -x^2 + 3x + 7 \geqq 1 $$

整理すると、

$$ x^2 - 3x - 6 \leqq 0 $$

$x^2 - 3x - 6 = 0$ の解は解の公式より $x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$ であるから、この2次不等式の解は、

$$ \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \leqq x \leqq \frac{3 + \sqrt{33}}{2} $$

ここで、$5 < \sqrt{33} < 6$ であるから、$\frac{3 - \sqrt{33}}{2} < 0$ であり、また $\frac{3 + \sqrt{33}}{2} > \frac{3 + 5}{2} = 4$ である。 したがって、$1 \leqq x < 2$ の範囲はすべてこの不等式の解に含まれる。 場合分けの条件との共通範囲は、

$$ 1 \leqq x < 2 \quad \cdots \text{②} $$

**(iii)** $x \geqq 2$ のとき

$x - 1 > 0$ かつ $x - 2 \geqq 0$ であるから、$|x - 1| = x - 1$、$|x - 2| = x - 2$ となる。 したがって、与えられた不等式は次のようになる。

$$ -x^2 + 3x + 7 \geqq (x - 1) + (x - 2) $$

$$ -x^2 + 3x + 7 \geqq 2x - 3 $$

整理すると、

$$ x^2 - x - 10 \leqq 0 $$

$x^2 - x - 10 = 0$ の解は解の公式より $x = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$ であるから、この2次不等式の解は、

$$ \frac{1 - \sqrt{41}}{2} \leqq x \leqq \frac{1 + \sqrt{41}}{2} $$

ここで、$6 < \sqrt{41} < 7$ であるから、$7 < 1 + \sqrt{41} < 8$ より $3.5 < \frac{1 + \sqrt{41}}{2} < 4$ である。 したがって、場合分けの条件 $x \geqq 2$ との共通範囲をとると、

$$ 2 \leqq x \leqq \frac{1 + \sqrt{41}}{2} \quad \cdots \text{③} $$

以上、①、②、③より、求める $x$ の範囲はこれらの和集合となる。 各区間の端点がつながることに注意すると、

$$ \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \leqq x \leqq \frac{1 + \sqrt{41}}{2} $$

解法2

与えられた不等式を、2つの関数のグラフの上下関係として捉える。

$$ f(x) = -x^2 + 3x + 7 $$

$$ g(x) = |x - 1| + |x - 2| $$

とおくと、求める範囲は $y = f(x)$ のグラフが $y = g(x)$ のグラフの上側にあるか、または交わるような $x$ の範囲である。

$g(x)$ は絶対値の中身の符号で場合分けすることで、次のように表せる。

$$ g(x) = \begin{cases} -2x + 3 & (x < 1) \\ 1 & (1 \leqq x < 2) \\ 2x - 3 & (x \geqq 2) \end{cases} $$

それぞれの区間において、$f(x) = g(x)$ となる交点の $x$ 座標を求める。

**(i)** $x < 1$ の区間

$$ -x^2 + 3x + 7 = -2x + 3 \iff x^2 - 5x - 4 = 0 $$

これを解いて $x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$。$x < 1$ を満たすのは $x = \frac{5 - \sqrt{41}}{2}$ である。

**(ii)** $1 \leqq x < 2$ の区間

$$ -x^2 + 3x + 7 = 1 \iff x^2 - 3x - 6 = 0 $$

これを解いて $x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$。$5 < \sqrt{33} < 6$ より、この区間内に解は存在しない。 （実際には、区間内で常に $f(x) \geqq g(x)$ が成り立っている）

**(iii)** $x \geqq 2$ の区間

$$ -x^2 + 3x + 7 = 2x - 3 \iff x^2 - x - 10 = 0 $$

これを解いて $x = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$。$x \geqq 2$ を満たすのは $x = \frac{1 + \sqrt{41}}{2}$ である。

上に凸の放物線 $y = f(x)$ と、折れ線グラフ $y = g(x)$ の位置関係を考えると、$f(x) \geqq g(x)$ となるのは、求めた2つの交点の間であることがわかる。

したがって、求める $x$ の範囲は、

$$ \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \leqq x \leqq \frac{1 + \sqrt{41}}{2} $$

解説

絶対値を含む方程式・不等式の最も確実な処理方法は、「絶対値記号の中身の正負によって場合分けをする」ことである。本問のように絶対値が2つある場合は、それぞれの境界値（今回は $x=1, 2$）を境にして数直線を3つの区間に分割して考える。

計算自体は基本的な2次不等式であるが、各区間で求めた解と「場合分けの条件との共通範囲」をとる手順を忘れないように注意が必要である。また、平方根を含む値と整数の大小比較を行う際は、$\sqrt{36} < \sqrt{41} < \sqrt{49}$ のように、近い平方数を利用して評価するとよい。

答え

$$ \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \leqq x \leqq \frac{1 + \sqrt{41}}{2} $$