解説

方針・初手

与えられた連立方程式の右辺の項を左辺に移項し、$x, y$ について整理する。右辺がすべて $0$ である同次連立1次方程式が、自明な解（$x=y=0$）以外の解をもつ条件を考える。1つの文字を消去して代数的に解く方法や、図形的に2つの方程式が表す直線が一致する条件を考える方法がある。

解法1

与えられた方程式を整理すると、以下のようになる。

$$ \begin{cases} (1-k)x + 4y = 0 \quad \cdots ① \\ 2x + (3-k)y = 0 \quad \cdots ② \end{cases} $$

①の両辺を $2$ 倍し、②の両辺を $(1-k)$ 倍して辺々を引くことで $x$ を消去する。

$$ 2(1-k)x + 8y = 0 $$

$$ 2(1-k)x + (1-k)(3-k)y = 0 $$

上式から下式を引くと、以下のようになる。

$$ \{8 - (1-k)(3-k)\}y = 0 $$

波括弧の中を展開して整理する。

$$ \{8 - (k^2 - 4k + 3)\}y = 0 $$

$$ (-k^2 + 4k + 5)y = 0 $$

$$ -(k+1)(k-5)y = 0 $$

ここで、$y = 0$ であると仮定する。このとき、②より $2x = 0$ となり $x = 0$ を得る。すなわち、解が $x = y = 0$ のみとなってしまい、問題の条件を満たさない。

したがって、$x = 0, y = 0$ 以外の解をもつためには、$y \neq 0$ となる解が存在しなければならない。そのためには、上の式の $y$ の係数が $0$ である必要がある。

$$ -(k+1)(k-5) = 0 $$

よって、$k = -1, 5$ となる。

逆に、これらの値が条件を満たすか確認する（十分性の確認）。

**(i)** $k = -1$ のとき ①、②はともに $2x + 4y = 0$、すなわち $x + 2y = 0$ となる。これを満たす $(x, y)$ は無数に存在し、$x = 0, y = 0$ 以外の解をもつ。

**(ii)** $k = 5$ のとき ①、②はともに $-4x + 4y = 0$、すなわち $x - y = 0$ となる。これを満たす $(x, y)$ も無数に存在し、$x = 0, y = 0$ 以外の解をもつ。

以上より、求める $k$ の値は $k = -1, 5$ である。

解法2

与えられた連立方程式は、座標平面上の2直線を表すと考えられる。

$$ \begin{cases} (1-k)x + 4y = 0 \quad \cdots ① \\ 2x + (3-k)y = 0 \quad \cdots ② \end{cases} $$

この2直線は、ともに原点 $(0, 0)$ を通る。この連立方程式が $x = 0, y = 0$ 以外の解をもつということは、この2直線が原点以外の交点をもつ、すなわち2直線が完全に一致するということである。

直線①と直線②が一致するための条件は、$x$ の係数の比と $y$ の係数の比が等しくなることである。②における $x$ の係数は $2 \neq 0$、①における $y$ の係数は $4 \neq 0$ であるから、以下の等式が成り立つ。

$$ \frac{1-k}{2} = \frac{4}{3-k} $$

分母を払って整理する。

$$ (1-k)(3-k) = 8 $$

$$ k^2 - 4k + 3 = 8 $$

$$ k^2 - 4k - 5 = 0 $$

$$ (k+1)(k-5) = 0 $$

これを解いて、$k = -1, 5$ を得る。

解説

未知数が2つの同次連立1次方程式 $ax+by=0, cx+dy=0$ が自明な解（$x=y=0$）以外の解をもつ条件は、$ad-bc=0$ が成り立つことである。これは2直線の傾きが等しくなる（直線が一致する）条件、あるいは係数行列の行列式が $0$ になる条件に等しい。本問はこの典型的な性質を問う問題であり、図形的な意味を知っていれば解法2のように瞬時に立式できる。記述式の答案を丁寧に書く場合は、解法1のように文字消去の過程で必要条件を導き、十分性を確認する手順を踏むと論理の飛躍がなく確実である。

答え

$k = -1, 5$