解説

方針・初手

連立方程式が自明な解 $(0, 0)$ または $(0, 0, 0)$ 以外の解（非自明な解）をもつことを示す問題である。 各方程式の係数がすべて $0$ になる場合とそうでない場合で分けて、具体的な解の組を構成することで証明する。

解法1

**(1)**

**(i)** $a=b=0$ のとき 方程式は $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$ となり、すべての実数の組 $(x, y)$ に対して成り立つ。 したがって、例えば $(x, y) = (1, 1)$ は $(0, 0)$ 以外の解である。

**(ii)** $a, b$ の少なくとも一方が $0$ でないとき $(x, y) = (b, -a)$ とおくと、

$$ a \cdot b + b \cdot (-a) = ab - ab = 0 $$

となり、方程式を満たす。 また、$a, b$ の少なくとも一方が $0$ でないから、$(b, -a) \neq (0, 0)$ である。

**(i)**, **(ii)** より、いずれの場合も $(0, 0)$ 以外の解をもつ。（証明終）

**(2)**

**(i)** $a=b=0$ のとき 第1式は任意の $(x, y, z)$ に対して成り立つため、第2式 $cx+dy+ez=0$ が $(0,0,0)$ 以外の解をもつことを示せばよい。 **(ア)** $c=d=e=0$ のとき 第2式も任意の $(x, y, z)$ に対して成り立つため、例えば $(x, y, z) = (1, 1, 1)$ は $(0, 0, 0)$ 以外の解である。 **(イ)** $c, d, e$ の少なくとも1つが $0$ でないとき 例えば $c \neq 0$ のとき、$(x, y, z) = (d, -c, 0)$ は第2式を満たし、かつ $(0, 0, 0)$ ではない解である。$d \neq 0$ や $e \neq 0$ の場合も同様に構成できる。

**(ii)** $a, b$ の少なくとも一方が $0$ でないとき (1)の考察より、任意の実数 $k$ に対して $(x, y) = (bk, -ak)$ は第1式を満たす。 これを第2式に代入すると、

$$ c(bk) + d(-ak) + ez = 0 $$

$$ (bc - ad)k + ez = 0 $$

となる。ここで、$(k, z) = (e, ad-bc)$ はこの等式を満たすので、これを満たす組の1つとして採用する。 このとき、$(x, y, z) = (be, -ae, ad-bc)$ は元の2つの方程式を同時に満たす。 この解が $(0, 0, 0)$ となるのは、$be=0$ かつ $-ae=0$ かつ $ad-bc=0$ のときである。 $a, b$ の少なくとも一方が $0$ でないことから、$be=0$ かつ $-ae=0$ となるのは $e=0$ のときのみである。よって、以下の2つに場合分けする。 **(ウ)** $e \neq 0$ または $ad-bc \neq 0$ のとき $(x, y, z) = (be, -ae, ad-bc) \neq (0, 0, 0)$ であり、これが題意を満たす解となる。 **(エ)** $e = 0$ かつ $ad-bc = 0$ のとき 上で構成した解は $(0, 0, 0)$ となるため、別の解を見つける必要がある。 $e=0$ であるから、第2式は $cx+dy=0$ となる。 ここで $(x, y, z) = (0, 0, 1)$ とすると、第1式と第2式はともに $z$ を含まないため、$x=0, y=0$ を代入すれば両方の式を満たす。 また $(0, 0, 1) \neq (0, 0, 0)$ であるから、これが題意を満たす解となる。

**(i)**, **(ii)** より、すべての場合において $(0, 0, 0)$ 以外の解をもつ。（証明終）

解法2

**(2)の幾何学的解法**

座標空間において、方程式 $ax+by=0$ と $cx+dy+ez=0$ はそれぞれ、原点 $(0, 0, 0)$ を通る平面を表す（係数がすべて $0$ の場合は空間全体を表す）。

原点を通る2つの平面（空間全体となる場合を含む）の共有点の集合は、2つの平面が一致する場合はその平面自体、異なる場合は交線となる。

いずれの場合も、共有点の集合が原点のみからなる集合（0次元）になることはなく、少なくとも原点を通る直線（1次元以上）を含む。

したがって、原点 $(0, 0, 0)$ 以外の共有点が必ず存在し、それが与えられた連立方程式の解となる。よって題意は示された。（証明終）

解説

本問は、線形代数学における「同次連立1次方程式が非自明な解をもつ条件」を高校数学の範囲で証明させる問題です。 未知数の数よりも方程式の数の方が少ない同次連立1次方程式（右辺の定数項がすべて $0$ の方程式）は、必ず自明な解以外の解をもつという性質が背景にあります。 解法1のように文字の係数が $0$ かどうかで丁寧に場合分けし、具体的な解の組を構成する手法は、文字定数を含む方程式の処理として基本かつ重要です。 また、解法2のように図形的な意味（空間図形における平面の交わり）に翻訳して解釈する視点をもっておくと、結果の妥当性を素早く見抜くことができます。

答え

（証明問題のため省略。各解法において証明完了）