解説

方針・初手

第1式と第2式は $x, y, z$ についての定数項を持たない斉次1次方程式であるため、これらから $y, z$ を $x$ を用いて表す（または比 $x:y:z$ を求める）ことができる。これを第3式に代入して $x$ に関する方程式に帰着させる。その際、第3式が分数式であるため、分母が $0$ にならない条件（$x \neq 0$）を忘れずに確認する。

解法1

与えられた連立方程式を次のように置く。

$$ x + \sqrt{2}y - \sqrt{3}z = 0 \quad \cdots \text{(1)} $$

$$ (\sqrt{2}-1)\sqrt{3}x - \sqrt{3}y + z = 0 \quad \cdots \text{(2)} $$

$$ \frac{x}{y^2+z^2} + \frac{\sqrt{2}y}{z^2+x^2} + \frac{\sqrt{3}z}{x^2+y^2} = 1 \quad \cdots \text{(3)} $$

(1)より、

$$ \sqrt{3}z = x + \sqrt{2}y \quad \cdots \text{(1)'} $$

(2)の両辺を $\sqrt{3}$ 倍すると、

$$ 3(\sqrt{2}-1)x - 3y + \sqrt{3}z = 0 $$

これに(1)'を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} 3(\sqrt{2}-1)x - 3y + (x + \sqrt{2}y) &= 0 \\ (3\sqrt{2}-3+1)x + (\sqrt{2}-3)y &= 0 \\ (3\sqrt{2}-2)x + (\sqrt{2}-3)y &= 0 \\ (\sqrt{2}-3)y &= -(3\sqrt{2}-2)x \end{aligned} $$

ここで $y$ の係数について整理し、分母を有理化して $y$ を $x$ で表す。

$$ \begin{aligned} y &= -\frac{3\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}-3}x \\ &= -\frac{(3\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+3)}{(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3)}x \\ &= -\frac{6+9\sqrt{2}-2\sqrt{2}-6}{2-9}x \\ &= -\frac{7\sqrt{2}}{-7}x \\ &= \sqrt{2}x \quad \cdots \text{(4)} \end{aligned} $$

(4)を(1)'に代入して $z$ を $x$ で表す。

$$ \begin{aligned} \sqrt{3}z &= x + \sqrt{2}(\sqrt{2}x) \\ \sqrt{3}z &= 3x \\ z &= \sqrt{3}x \quad \cdots \text{(5)} \end{aligned} $$

(3)の各式は分母に $x, y, z$ の2乗の和を持つ。もし $x=0$ とすると(4), (5)より $y=0, z=0$ となり、分母が $0$ となってしまうため不適である。したがって、$x \neq 0$ である。

(4), (5)を(3)の左辺に代入する。

$$ \begin{aligned} \frac{x}{(\sqrt{2}x)^2+(\sqrt{3}x)^2} + \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}x)}{(\sqrt{3}x)^2+x^2} + \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}x)}{x^2+(\sqrt{2}x)^2} &= 1 \\ \frac{x}{2x^2+3x^2} + \frac{2x}{3x^2+x^2} + \frac{3x}{x^2+2x^2} &= 1 \\ \frac{x}{5x^2} + \frac{2x}{4x^2} + \frac{3x}{3x^2} &= 1 \\ \frac{1}{5x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{x} &= 1 \end{aligned} $$

左辺を計算する。

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{2} + 1\right)\frac{1}{x} &= 1 \\ \frac{2+5+10}{10} \cdot \frac{1}{x} &= 1 \\ \frac{17}{10x} &= 1 \end{aligned} $$

これを解いて、

$$ x = \frac{17}{10} $$

解説

前2つの式が定数項を持たない斉次方程式であることに気づけば、$y$ と $z$ を $x$ の定数倍で表すという方針が自然に立つ。係数に無理数が含まれるため計算ミスを誘発しやすいが、丁寧に有理化などを行えば係数は簡単な無理数にまとまる。また、分母が $0$ にならないことの確認（$x \neq 0$）は、同値変形において論理的な飛躍を防ぐために不可欠なステップである。

答え

$$ x = \frac{17}{10} $$