解説

方針・初手

連立2元2次方程式を解く問題である。与えられた2つの式のうち、上側の式は右辺が $0$ であり、左辺が因数分解できる形になっていることに着目する。左辺を因数分解して $x$ と $y$ の関係式（1次式）を導き、それをもう一方の式に代入して1文字消去を行うのが基本方針となる。

解法1

与えられた連立方程式は以下の通りである。

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 + x + y = 0 & \cdots \text{①} \\ x^2 - 3x + 2y^2 + 3y = 9 & \cdots \text{②} \end{cases} $$

①の左辺を変形して因数分解する。

$$ (x^2 - y^2) + (x + y) = 0 $$

$$ (x+y)(x-y) + (x+y) = 0 $$

$$ (x+y)(x-y+1) = 0 $$

したがって、以下の2つの場合が考えられる。

$$ y = -x \quad \text{または} \quad y = x+1 $$

**(i)** $y = -x$ のとき

これを②に代入する。

$$ x^2 - 3x + 2(-x)^2 + 3(-x) = 9 $$

$$ x^2 - 3x + 2x^2 - 3x - 9 = 0 $$

$$ 3x^2 - 6x - 9 = 0 $$

両辺を3で割って整理する。

$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$

$$ (x-3)(x+1) = 0 $$

よって、$x = 3, -1$ である。

$y = -x$ であるから、 $x = 3$ のとき $y = -3$ $x = -1$ のとき $y = 1$ となる。

**(ii)** $y = x+1$ のとき

これを②に代入する。

$$ x^2 - 3x + 2(x+1)^2 + 3(x+1) = 9 $$

$$ x^2 - 3x + 2(x^2 + 2x + 1) + 3x + 3 = 9 $$

$$ x^2 - 3x + 2x^2 + 4x + 2 + 3x + 3 - 9 = 0 $$

$$ 3x^2 + 4x - 4 = 0 $$

これを因数分解する。

$$ (x+2)(3x-2) = 0 $$

よって、$x = -2, \frac{2}{3}$ である。

$y = x+1$ であるから、 $x = -2$ のとき $y = -1$ $x = \frac{2}{3}$ のとき $y = \frac{5}{3}$ となる。

**(i)**, **(ii)** より、求める $(x, y)$ の組はすべて求まる。

解説

連立2次方程式を解く際の定石である「1つの式から1文字消去」を実行する標準的な問題である。

一般に、連立2次方程式において一方が $=0$ の形になっている場合、その式の因数分解を試みるのが第一感である。本問では第1式が $(1次式)\times(1次式)=0$ の形に因数分解できるため、$y$ を $x$ の1次式で表すことができ、第2式への代入が容易に行える。計算ミスに気をつけながら丁寧に場合分けを進めれば、確実に得点できる。

答え

$$ (x, y) = (3, -3), (-1, 1), (-2, -1), \left(\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right) $$