解説

方針・初手

与えられた連立1次方程式から文字 $y$ または $x$ を消去し、1文字の1次方程式に帰着させる。$Ax = B$ の形になったとき、これが解を持たない条件は $A = 0$ かつ $B \neq 0$ であることを利用する。 または、方程式を座標平面上の2直線と捉え、それらが平行でかつ一致しない条件を考える図形的なアプローチも有効である。

解法1

連立方程式 $$ \begin{cases} 2x - y = 2 \quad \cdots \text{①} \\ x + ay = 2 \quad \cdots \text{②} \end{cases} $$ を解く。①より、 $$ y = 2x - 2 $$

これを②に代入すると、 $$ x + a(2x - 2) = 2 $$

展開して $x$ について整理すると、 $$ (1 + 2a)x - 2a = 2 $$

$$ (1 + 2a)x = 2a + 2 \quad \cdots \text{③} $$

方程式③が解を持たないための条件は、$x$ の係数が $0$ であり、かつ右辺が $0$ でないことである。すなわち、 $$ \begin{cases} 1 + 2a = 0 \\ 2a + 2 \neq 0 \end{cases} $$

第1式より、 $$ a = -\frac{1}{2} $$

このとき、第2式は $2 \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = 1 \neq 0$ となり条件を満たす。

よって、求める $a$ の値は $a = -\frac{1}{2}$ である。

解法2

連立方程式の2式を $xy$ 平面上の直線の方程式とみなす。 $$ \begin{cases} 2x - y = 2 \quad \cdots \text{①} \\ x + ay = 2 \quad \cdots \text{②} \end{cases} $$

連立方程式が解を持たないための条件は、直線①と直線②が平行であり、かつ一致しないことである。

直線①は変形すると $y = 2x - 2$ となり、傾きは $2$、切片は $-2$ である。

**(i)** $a = 0$ のとき

直線②は $x = 2$ となり、傾きを持たない（$y$ 軸に平行な）直線である。 直線①と交点を持つため、解を持つ。よって不適。

**(ii)** $a \neq 0$ のとき

直線②は変形すると $$ y = -\frac{1}{a}x + \frac{2}{a} $$ となり、傾きは $-\frac{1}{a}$、切片は $\frac{2}{a}$ である。

直線①と直線②が平行になるための条件は、傾きが等しいことであるから、 $$ 2 = -\frac{1}{a} $$

これより、 $$ a = -\frac{1}{2} $$

このとき、直線②の切片は $\frac{2}{-\frac{1}{2}} = -4$ となる。 直線①の切片 $-2$ と一致しないため、2直線は平行かつ一致しない。

以上より、求める $a$ の値は $a = -\frac{1}{2}$ である。

解法3

連立方程式 $$ \begin{cases} 2x - y = 2 \\ x + ay = 2 \end{cases} $$ が解を持たないための条件は、係数の比について以下が成り立つことである。 $$ \frac{2}{1} = \frac{-1}{a} \neq \frac{2}{2} $$

左側の等式 $\frac{2}{1} = \frac{-1}{a}$ より、 $$ 2a = -1 $$

$$ a = -\frac{1}{2} $$

このとき、中辺は $\frac{-1}{-\frac{1}{2}} = 2$ となり、右辺の $\frac{2}{2} = 1$ とは異なるため、条件 $\frac{-1}{a} \neq \frac{2}{2}$ を満たす。

よって、求める $a$ の値は $a = -\frac{1}{2}$ である。

解説

連立1次方程式の解の存在に関する基本的な問題である。代数的に1文字消去して $Ax = B$ の形に帰着させる方針と、幾何的に2直線の位置関係と捉える方針のどちらでも容易に解くことができる。

解を持たない（不能）という状況は、1変数の1次方程式 $Ax = B$ において $A=0$ かつ $B \neq 0$ となること、図形的には2直線が平行で一致しないことに対応する。一致してしまうと解が無数に存在する（不定）状況になるため、右辺の定数（直線の場合は切片）の確認を忘れないように注意したい。また、直線の方程式で割る操作をする際（解法2）には、$a=0$ の場合分けを欠かさないことが論理の厳密性を保つうえで重要である。

答え

$$ a = -\frac{1}{2} $$