解説

方針・初手

(1) は複数の文字を含む整式の因数分解の基本に従い、適当な項を組み合わせて共通因数を見つけるか、1つの文字について整理する。

(2) は連立方程式の解法である。(1) の結果を用いて第1式から $x$ と $y$ の関係式を導き、それを第2式に代入して1文字の3次方程式に帰着させる。

解法1

(1) 与式を $x$ の2次式とみて整理すると、

$$ x^2 + 5x - y^2 - 5y = x^2 + 5x - y(y + 5) $$

たすき掛けを考えることにより、

$$ x^2 + 5x - y(y + 5) = (x - y)(x + y + 5) $$

となる。

(2) 第1式は (1) の結果より、

$$ (x - y)(x + y + 5) = 0 $$

よって、$y = x$ または $y = -x - 5$ である。これら2つの場合について、第2式 $x^3 + x^2 + 2xy + 3y + 1 = 0$ に代入して考える。

**(i)** $y = x$ のとき 第2式に代入して整理すると、

$$ x^3 + x^2 + 2x^2 + 3x + 1 = 0 $$

$$ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0 $$

左辺は $(x+1)^3$ と因数分解できるため、

$$ (x+1)^3 = 0 $$

これより $x = -1$ を得る。このとき $y = -1$ であり、これらは実数であるから条件を満たす。

**(ii)** $y = -x - 5$ のとき 第2式に代入して展開し、整理すると、

$$ x^3 + x^2 + 2x(-x - 5) + 3(-x - 5) + 1 = 0 $$

$$ x^3 + x^2 - 2x^2 - 10x - 3x - 15 + 1 = 0 $$

$$ x^3 - x^2 - 13x - 14 = 0 $$

左辺を $P(x)$ とおくと、$P(-2) = -8 - 4 + 26 - 14 = 0$ となるから、因数定理より $P(x)$ は $x+2$ を因数にもつ。

$$ (x+2)(x^2 - 3x - 7) = 0 $$

よって、$x = -2$ または $x^2 - 3x - 7 = 0$ である。 $x^2 - 3x - 7 = 0$ を解の公式を用いて解くと、

$$ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{37}}{2} $$

これらはすべて実数である。それぞれの $x$ に対する $y$ の値を $y = -x - 5$ に代入して求める。

$x = -2$ のとき

$$ y = -(-2) - 5 = -3 $$

$x = \frac{3 + \sqrt{37}}{2}$ のとき

$$ y = -\frac{3 + \sqrt{37}}{2} - 5 = \frac{-13 - \sqrt{37}}{2} $$

$x = \frac{3 - \sqrt{37}}{2}$ のとき

$$ y = -\frac{3 - \sqrt{37}}{2} - 5 = \frac{-13 + \sqrt{37}}{2} $$

**(i)**, **(ii)** より、求める実数の組はすべて得られた。

解説

(1) は複数文字の因数分解の基本問題である。解答のように1文字について整理する方法のほか、$x^2 - y^2$ と $5x - 5y$ の組み合わせから共通因数 $(x - y)$ をくくり出す方法でも容易に因数分解できる。

(2) は (1) の因数分解を利用して連立方程式を解く、典型的な誘導問題である。因数分解から得られた $y$ を $x$ で表す式をもう一方の式に代入することで、1文字の方程式へと帰着させる。得られた3次方程式を解く際には、因数定理を確実に適用できるかが鍵となる。また、求める解が「実数の組」であることに注意し、得られた解が実数であることを確認する手順を踏むとよい。

答え

(1)

$$ (x - y)(x + y + 5) $$

(2)

$$ (x, y) = (-1, -1), \ (-2, -3), \ \left(\frac{3 + \sqrt{37}}{2}, \frac{-13 - \sqrt{37}}{2}\right), \ \left(\frac{3 - \sqrt{37}}{2}, \frac{-13 + \sqrt{37}}{2}\right) $$