解説

方針・初手

与えられた方程式は絶対値を含むため、まずは右辺 $a + 1$ の符号による場合分けを行う。絶対値は $0$ 以上であるため、右辺が負の場合は直ちに実数解をもたないことがわかる。 右辺が $0$ 以上の場合、絶対値を外して得られる2つの2次方程式について、実数解の個数を調べる方針（解法1）と、関数 $y = |x^2 + ax + 2a|$ のグラフと直線 $y = a + 1$ の共有点の個数を調べる方針（解法2）が考えられる。 解の個数を数える際、2つの2次方程式が「重解」や「共通解」をもつケースを見落とさないよう注意が必要である。

解法1

方程式 $|x^2 + ax + 2a| = a + 1$ の実数解について、右辺の符号で場合分けを行う。

**(i)** $a + 1 < 0$ すなわち $a < -1$ のとき 左辺は絶対値であるため常に $0$ 以上であるが、右辺が負となるため、方程式を満たす実数解は存在しない。

**(ii)** $a + 1 = 0$ すなわち $a = -1$ のとき 方程式は $|x^2 - x - 2| = 0$ となる。 絶対値の中身が $0$ になればよいので、

$$ x^2 - x - 2 = 0 $$

$$ (x - 2)(x + 1) = 0 $$

これを解いて $x = -1, 2$。 これは異なる2つの実数解であるため、 $a = -1$ は条件を満たす。

**(iii)** $a + 1 > 0$ すなわち $a > -1$ のとき 方程式は次のように絶対値を外すことができる。

$$ x^2 + ax + 2a = \pm(a + 1) $$

すなわち、次の2つの2次方程式に分解される。

$$ x^2 + ax + a - 1 = 0 \quad \cdots \text{(1)} $$

$$ x^2 + ax + 3a + 1 = 0 \quad \cdots \text{(2)} $$

方程式(1)は左辺が因数分解できる。

$$ (x + 1)(x + a - 1) = 0 $$

よって、(1) の解は $x = -1, 1 - a$ である。 この2つの解が一致する（重解となる）のは、$-1 = 1 - a$ すなわち $a = 2$ のときである。 したがって、(1) は $a = 2$ のとき $x = -1$ の $1$ 個の実数解（重解）をもち、$a \neq 2$ のとき異なる $2$ 個の実数解をもつ。

次に、(1)と(2)が共通解をもつ可能性を調べる。 $x = -1$ が(2)の解であると仮定すると、

$$ (-1)^2 + a(-1) + 3a + 1 = 0 $$

$$ 2a + 2 = 0 \iff a = -1 $$

これは $a > -1$ に矛盾する。 また、$x = 1 - a$ が(2)の解であると仮定すると、

$$ (1 - a)^2 + a(1 - a) + 3a + 1 = 0 $$

$$ 1 - 2a + a^2 + a - a^2 + 3a + 1 = 0 $$

$$ 2a + 2 = 0 \iff a = -1 $$

これも $a > -1$ に矛盾する。 よって、$a > -1$ において(1)と(2)は共通解をもたない。

これらを踏まえ、(1)と(2)を合わせた実数解の総数がちょうど2個となる条件を考える。 (1)の判別式を $D_1$、(2)の判別式を $D_2$ とする。 $D_1 = a^2 - 4(a - 1) = (a - 2)^2 \ge 0$ であるため、(1)が実数解をもたないことはない。 また、(1)が1個の実数解をもつのは $a = 2$ のときであるが、このとき $D_2 = 2^2 - 4(3 \cdot 2 + 1) = -24 < 0$ となり、(2)は実数解をもたない。したがって全体の実数解は1個となり不適。

ゆえに、実数解がちょうど2個となるのは、**(1)が異なる2個の実数解をもち、かつ(2)が実数解をもたない場合** に限られる。 その条件は $D_1 > 0$ かつ $D_2 < 0$ である。

$$ D_1 > 0 \iff a \neq 2 $$

$$ D_2 = a^2 - 4(3a + 1) < 0 $$

$$ a^2 - 12a - 4 < 0 $$

方程式 $a^2 - 12a - 4 = 0$ の解は $a = 6 \pm 2\sqrt{10}$ であるから、

$$ 6 - 2\sqrt{10} < a < 6 + 2\sqrt{10} $$

ここで、$3 < \sqrt{10} < 4$ より $6 < 2\sqrt{10} < 8$ であるから、$-2 < 6 - 2\sqrt{10} < 0$ となる。 さらに精度を上げると、$3.1 < \sqrt{10} < 3.2$ より $6.2 < 2\sqrt{10} < 6.4$ であるから、 $-0.4 < 6 - 2\sqrt{10} < -0.2$ であり、明らかに $6 - 2\sqrt{10} > -1$ を満たしている。

以上から、$a > -1$ の範囲で条件を満たす $a$ の範囲は、

$$ 6 - 2\sqrt{10} < a < 2, \quad 2 < a < 6 + 2\sqrt{10} $$

**(i)**, **(ii)**, **(iii)** より、求める $a$ の範囲はこれらを合わせたものになる。

解法2

関数 $y = |x^2 + ax + 2a|$ のグラフと直線 $y = a + 1$ の共有点の個数が2個になる条件を考える。 $a < -1$ のとき共有点が $0$ 個、$a = -1$ のとき共有点が $2$ 個になることは解法1と同様である。

$a > -1$ のとき、直線 $y = a + 1$ は $x$ 軸より上にある。 $f(x) = x^2 + ax + 2a$ とおく。 $f(x) = 0$ の判別式を $D_0$ とすると、$D_0 = a^2 - 8a = a(a - 8)$ である。 $D_0$ の符号によってグラフの形状が変わり、場合分けが生じる。

**(ア)** $D_0 \le 0$ すなわち $0 \le a \le 8$ のとき 常に $f(x) \ge 0$ であるから、$|f(x)| = f(x)$ となる。 グラフの折り返しは発生せず、$y = f(x)$ は下に凸の放物線である。 これが直線 $y = a + 1$ と2つの共有点をもてばよいので、方程式 $x^2 + ax + 2a = a + 1$ が異なる2つの実数解をもつ条件を求める。

$$ x^2 + ax + a - 1 = 0 $$

この判別式を $D_1$ とすると、 $D_1 > 0$ となればよい。

$$ D_1 = a^2 - 4(a - 1) = (a - 2)^2 > 0 $$

よって $a \neq 2$。 場合分けの条件と合わせて、 $0 \le a < 2, \quad 2 < a \le 8$ が適する。

**(イ)** $D_0 > 0$ すなわち $a < 0$ または $a > 8$ のとき（$a > -1$ も考慮する） 放物線 $y = f(x)$ は $x$ 軸と異なる2点で交わり、$x$ 軸より下の部分が上に折り返されたグラフとなる。

$$ f(x) = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2 - 8a}{4} $$

折り返された部分の極大値（山の頂点の $y$ 座標）は $\frac{a^2 - 8a}{4}$ である。 直線 $y = a + 1$ との共有点がちょうど2個になるのは、直線がこの極大値よりも上にあるときである。 （直線が極大値と同じ高さなら共有点は3個、極大値より低く $x$ 軸より上なら共有点は4個となる） したがって、条件は以下のようになる。

$$ a + 1 > \frac{a^2 - 8a}{4} $$

$$ 4a + 4 > a^2 - 8a $$

$$ a^2 - 12a - 4 < 0 $$

これを解いて、$6 - 2\sqrt{10} < a < 6 + 2\sqrt{10}$。 場合分けの条件（$a > -1$ かつ ($a < 0$ または $a > 8$)）との共通範囲をとる。 $6 - 2\sqrt{10} \approx -0.32$、$6 + 2\sqrt{10} \approx 12.32$ であるから、

$$ 6 - 2\sqrt{10} < a < 0, \quad 8 < a < 6 + 2\sqrt{10} $$

以上 **(ア)**, **(イ)** を合わせると、$a > -1$ の範囲で適する $a$ は

$$ 6 - 2\sqrt{10} < a < 2, \quad 2 < a < 6 + 2\sqrt{10} $$

最後に $a = -1$ の場合と合わせて最終的な答えを得る。

解説

絶対値を含む方程式の解の個数を問う典型問題である。 数式のみで処理する場合（解法1）、絶対値を外して得られる2つの2次方程式について、「それぞれが重解をもつ可能性」と「2つの方程式が共通解をもつ可能性」を漏れなく検証する必要がある。本問では $a=2$ のとき一方が重解となり、結果として全体の解が1個になってしまう点を見落としやすい。 一方、グラフを用いた定数分離や視覚的な解法（解法2）は、解の個数の変化を直感的に捉えやすく、条件漏れを防ぐうえで非常に有効である。折り返しグラフの「山の高さ」と直線の上下関係に帰着させる考え方は、頻出の手法として押さえておきたい。

答え

$a = -1$

$6 - 2\sqrt{10} < a < 2$

$2 < a < 6 + 2\sqrt{10}$