解説

方針・初手

与えられた方程式が $x$ についての2次方程式とは限らないことに注意する。最高次である $x^2$ の係数 $\sin\theta$ が $0$ になる場合と、ならない場合とで場合分けを行う必要がある。$\sin\theta \neq 0$ の場合は、2次方程式として判別式 $D \geqq 0$ の条件を考える。

解法1

与えられた $x$ の方程式を整理すると、

$$ (\sin\theta) x^2 + (2\cos\theta) x + \sin\theta - 2\cos\theta = 0 $$

となる。

**(i)** $\sin\theta = 0$ のとき

$0 \leqq \theta < 2\pi$ より、$\theta = 0, \pi$ である。

$\theta = 0$ のとき、$\cos 0 = 1$ より方程式は

$$ 2x - 2 = 0 $$

となり、$x = 1$ という実数解をもつため適する。

$\theta = \pi$ のとき、$\cos\pi = -1$ より方程式は

$$ -2x + 2 = 0 $$

となり、$x = 1$ という実数解をもつためこれも適する。

**(ii)** $\sin\theta \neq 0$ のとき

方程式は $x$ についての2次方程式となる。実数解をもつ条件は、判別式を $D$ とすると $D \geqq 0$ であることである。

$$ \frac{D}{4} = \cos^2\theta - \sin\theta(\sin\theta - 2\cos\theta) \geqq 0 $$

展開して整理すると、

$$ \cos^2\theta - \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta \geqq 0 $$

2倍角の公式 $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ と $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いると、

$$ \sin 2\theta + \cos 2\theta \geqq 0 $$

三角関数の合成を行うと、

$$ \sqrt{2}\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{4}\right) \geqq 0 $$

$$ \sin\left(2\theta + \frac{\pi}{4}\right) \geqq 0 $$

ここで、$0 \leqq \theta < 2\pi$ より、

$$ 0 \leqq 2\theta < 4\pi $$

$$ \frac{\pi}{4} \leqq 2\theta + \frac{\pi}{4} < \frac{17}{4}\pi $$

この範囲において、$\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{4}\right) \geqq 0$ を満たす $2\theta + \frac{\pi}{4}$ の範囲は、

$$ \frac{\pi}{4} \leqq 2\theta + \frac{\pi}{4} \leqq \pi, \quad 2\pi \leqq 2\theta + \frac{\pi}{4} \leqq 3\pi, \quad 4\pi \leqq 2\theta + \frac{\pi}{4} < \frac{17}{4}\pi $$

それぞれについて $\theta$ を解くと、

$$ 0 \leqq 2\theta \leqq \frac{3}{4}\pi \quad \iff \quad 0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{8}\pi $$

$$ \frac{7}{4}\pi \leqq 2\theta \leqq \frac{11}{4}\pi \quad \iff \quad \frac{7}{8}\pi \leqq \theta \leqq \frac{11}{8}\pi $$

$$ \frac{15}{4}\pi \leqq 2\theta < 4\pi \quad \iff \quad \frac{15}{8}\pi \leqq \theta < 2\pi $$

場合分けの条件より $\sin\theta \neq 0$ すなわち $\theta \neq 0, \pi$ であるから、これらを除いた範囲が **(ii)** における条件を満たす $\theta$ の範囲となる。

**(i)**, **(ii)** より、求める $\theta$ の範囲はこれらを合わせたものである。**(i)** で $\theta = 0, \pi$ は適することがわかっているため、これらを統合すると最終的な範囲が得られる。

解説

「方程式が実数解をもつ」という条件に対して、安易に判別式 $D \geqq 0$ を使ってしまうと足元をすくわれる典型的な問題である。最高次の係数に文字が含まれている場合は、その係数が $0$ になる場合（つまり、方程式の次数が下がる場合）と $0$ にならない場合で必ず場合分けをしなければならない。 また、三角関数の不等式の処理において、2倍角の公式を用いて次数を下げ、角を揃えてから合成する流れは頻出の手法である。置き換えた角の変域に注意して解き進めることが重要である。

答え

$0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{8}\pi$

$\frac{7}{8}\pi \leqq \theta \leqq \frac{11}{8}\pi$

$\frac{15}{8}\pi \leqq \theta < 2\pi$