解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数 $y = f(x)$ のグラフと直線 $y = -x + t$ の交点を考える問題である。(1)では、方程式を定数 $t$ について分離し、$y = t$ の直線と固定された曲線の交点の個数として視覚的に捉えるのが定石である。(2)では、直線上の線分の長さの比が $x$ 座標の差の比と等しいことを利用し、交点の $x$ 座標を変数として立式する。その際、解と係数の関係を用いて計算量を減らす工夫が有効である。(3)の面積計算では、積分区間が交点の $x$ 座標で与えられるため、いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式が活用できる。

解法1

**(1)**

$C$ と $L$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$\left| \frac{1}{2}x^2 - 6 \right| - 2x = -x + t$$

の実数解である。これを $t$ について整理すると

$$t = \left| \frac{1}{2}x^2 - 6 \right| - x$$

となる。$g(x) = \left| \frac{1}{2}x^2 - 6 \right| - x$ とおき、$y = g(x)$ のグラフと直線 $y = t$ が異なる4点で交わるような $t$ の範囲を求める。

$\frac{1}{2}x^2 - 6 \ge 0$ すなわち $x \le -2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} \le x$ のとき、

$$g(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - 6 = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{13}{2}$$

$g'(x) = x - 1$ より、$x \le -2\sqrt{3}$ で単調減少、$2\sqrt{3} \le x$ で単調増加する。

$\frac{1}{2}x^2 - 6 < 0$ すなわち $-2\sqrt{3} < x < 2\sqrt{3}$ のとき、

$$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 - x + 6 = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{13}{2}$$

$g'(x) = -x - 1$ より、$g(x)$ は $x = -1$ で極大値 $g(-1) = \frac{13}{2}$ をとる。

また、区間の境界における値は

$$g(-2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}, \quad g(2\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$$

である。以上より、$y = g(x)$ のグラフは $x = -2\sqrt{3}$ で極小値 $2\sqrt{3}$、$x = -1$ で極大値 $\frac{13}{2}$、$x = 2\sqrt{3}$ で極小値 $-2\sqrt{3}$ をとる概形となる。

直線 $y = t$ がこのグラフと異なる4点で交わる条件は、極小値のうち大きい方よりも $t$ が大きく、極大値よりも $t$ が小さいことである。したがって、求める $t$ の範囲は

$$2\sqrt{3} < t < \frac{13}{2}$$

**(2)**

交点 $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3, \mathrm{P}_4$ の $x$ 座標を $x_1, x_2, x_3, x_4$ ($x_1 < x_2 < x_3 < x_4$) とおく。これらの点はすべて傾き $-1$ の直線 $L$ 上にあるため、任意の2点間の距離は、それらの $x$ 座標の差の $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ 倍となる。

与えられた条件式にこれを当てはめると、

$$\frac{\sqrt{2}(x_2 - x_1) + \sqrt{2}(x_4 - x_3)}{\sqrt{2}(x_3 - x_2)} = 4$$

$$\frac{(x_2 - x_1) + (x_4 - x_3)}{x_3 - x_2} = 4$$

分子を $(x_4 - x_1) - (x_3 - x_2)$ と書き換えると、

$$\frac{(x_4 - x_1) - (x_3 - x_2)}{x_3 - x_2} = 4$$

$$\frac{x_4 - x_1}{x_3 - x_2} - 1 = 4$$

$$x_4 - x_1 = 5(x_3 - x_2) \quad \cdots (*)$$

ここで、(1) のグラフの概形より、$x_1, x_4$ は $x \le -2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} \le x$ の範囲にあり、方程式 $\frac{1}{2}x^2 - x - 6 = t$ すなわち $x^2 - 2x - 12 - 2t = 0$ の2つの解である。解と係数の関係より、

$$x_1 + x_4 = 2, \quad x_1 x_4 = -12 - 2t$$

これを用いて $(x_4 - x_1)^2$ を計算すると、

$$(x_4 - x_1)^2 = (x_1 + x_4)^2 - 4x_1 x_4 = 2^2 - 4(-12 - 2t) = 8t + 52$$

$x_4 > x_1$ より、

$$x_4 - x_1 = 2\sqrt{2t + 13}$$

同様に、$x_2, x_3$ は $-2\sqrt{3} < x < 2\sqrt{3}$ の範囲にあり、方程式 $-\frac{1}{2}x^2 - x + 6 = t$ すなわち $x^2 + 2x - 12 + 2t = 0$ の2つの解である。解と係数の関係より、

$$x_2 + x_3 = -2, \quad x_2 x_3 = -12 + 2t$$

これを用いて $(x_3 - x_2)^2$ を計算すると、

$$(x_3 - x_2)^2 = (x_2 + x_3)^2 - 4x_2 x_3 = (-2)^2 - 4(-12 + 2t) = -8t + 52$$

$x_3 > x_2$ より、

$$x_3 - x_2 = 2\sqrt{13 - 2t}$$

これらを $(*)$ に代入して、

$$2\sqrt{2t + 13} = 5 \cdot 2\sqrt{13 - 2t}$$

$$\sqrt{2t + 13} = 5\sqrt{13 - 2t}$$

両辺は正であるから、2乗して解くと、

$$2t + 13 = 25(13 - 2t)$$

$$52t = 312$$

$$t = 6$$

この値は (1) で求めた条件 $2\sqrt{3} < t < \frac{13}{2}$ を満たしている。

**(3)**

$t = 6$ のとき、$\mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3$ の $x$ 座標 $x_2, x_3$ は、方程式 $x^2 + 2x - 12 + 2 \cdot 6 = 0$ すなわち $x^2 + 2x = 0$ の解であるから、$x_2 = -2, x_3 = 0$ である。

区間 $-2 \le x \le 0$ において、曲線 $C$ の方程式は絶対値の中身が負となるため、$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 6$ である。直線 $L$ の方程式は $y = -x + 6$ である。

この区間における $C$ と $L$ の上下関係を調べるため、差をとると、

$$\left( -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 6 \right) - (-x + 6) = -\frac{1}{2}x^2 - x = -\frac{1}{2}x(x + 2)$$

$-2 \le x \le 0$ において $-\frac{1}{2}x(x + 2) \ge 0$ であるから、曲線 $C$ は直線 $L$ の上側（または交点）にある。

したがって、求める図形の面積 $S$ は、

$$S = \int_{-2}^{0} \left( -\frac{1}{2}x^2 - x \right) dx = -\frac{1}{2} \int_{-2}^{0} x(x + 2) dx$$

定積分の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を用いて計算すると、

$$S = -\frac{1}{2} \left\{ -\frac{1}{6} (0 - (-2))^3 \right\} = \frac{1}{12} \cdot 8 = \frac{2}{3}$$

解説

絶対値を含む方程式の実数解の個数を問う頻出問題である。本問のように変数 $x$ と定数 $t$ が混在している場合は、定数のみを一方の辺にまとめる「定数分離」を行うことで、$x$ の関数のグラフと水平な直線 $y = t$ の交点の問題に帰着でき、視覚的に処理しやすくなる。

(2) は直線上の線分の長さを扱う定石通り、$x$ 座標の差に注目する。傾きが一定の直線上の線分比は、$x$ 座標の差の比に等しいことを利用すれば根号を含む複雑な距離の計算を避けられる。また、交点の $x$ 座標を直接求めるのではなく、解と係数の関係を用いて対称式として処理することで、計算ミスのリスクを大幅に減らすことができる。

(3) は放物線と直線で囲まれた面積であるため、交点の $x$ 座標がそのまま積分区間となる。この場合、いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式を積極的に活用することで、迅速かつ正確に面積を求めることが可能である。

答え

(1) $2\sqrt{3} < t < \frac{13}{2}$

(2) $t = 6$

(3) $\frac{2}{3}$