解説

方針・初手

与えられた不等式の左辺を $x$ の2次式とみて因数分解する。定数項である $a$ の2次式をまず因数分解し、たすき掛けの要領で全体を $x$ について因数分解する。その後、得られた2つの境界値の大小関係によって場合分けを行い、不等式の解を求める。

解法1

与えられた不等式 $$x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1 > 0$$ の左辺の定数項を $a$ について因数分解すると $$2a^2 + a - 1 = (2a - 1)(a + 1)$$ となる。これを用いて不等式を書き換えると $$x^2 - 3ax + (2a - 1)(a + 1) > 0$$ となり、さらに左辺を $x$ について因数分解すると $$(x - (2a - 1))(x - (a + 1)) > 0$$ を得る。

ここで、2つの値 $2a - 1$ と $a + 1$ の大小関係を調べるため、差をとる。 $$(2a - 1) - (a + 1) = a - 2$$ したがって、$a - 2$ の符号、すなわち $a$ の値によって次のように場合分けを行う。

**(i)** $a - 2 > 0$ すなわち $a > 2$ のとき

$2a - 1 > a + 1$ であるから、求める $x$ の範囲は $$x < a + 1, \quad 2a - 1 < x$$

**(ii)** $a - 2 = 0$ すなわち $a = 2$ のとき

$2a - 1 = a + 1 = 3$ となり、与えられた不等式は $$(x - 3)^2 > 0$$ となる。これを満たすのは $x = 3$ 以外のすべての実数である。よって、求める $x$ の範囲は $$x < 3, \quad 3 < x$$

**(iii)** $a - 2 < 0$ すなわち $a < 2$ のとき

$2a - 1 < a + 1$ であるから、求める $x$ の範囲は $$x < 2a - 1, \quad a + 1 < x$$

解説

文字定数を含む2次不等式の基本的な問題である。まずは因数分解を試みるのが定石であり、定数項が文字の多項式になっている場合は、まずそこを因数分解することで $x$ についての因数分解の見通しが立ちやすくなる。

不等式 $(x - \alpha)(x - \beta) > 0$ を解く際、$\alpha$ と $\beta$ の大小関係によって解の形が変わるため、文字が含まれている場合は $\alpha - \beta$ の符号を調べて場合分けを行う必要がある。特に $\alpha = \beta$ となる場合（完全平方式になる場合）の解の吟味を忘れないように注意したい。

答え

$$ \begin{array}{ll} a>2 & \text{のとき } x<a+1,\quad 2a-1<x,\\ a=2 & \text{のとき } x<3,\quad 3<x,\\ a<2 & \text{のとき } x<2a-1,\quad a+1<x. \end{array} $$

なお、$a=2$ のときは「$x\neq 3$ であるすべての実数」と表してもよい。