解説

方針・初手

与えられた2つの2次不等式をそれぞれ解き、それらの解の共通範囲を求める。片方は因数分解により解を求められるが、もう一方は因数分解できないため解の公式を利用する。最後に、得られた解の境界となる値の大小関係を評価して共通範囲を確定させる。

解法1

連立不等式を以下のように定める。

$$ 2x^2 - 5x - 3 < 0 \quad \cdots \text{①} $$

$$ 3x^2 - 4x - 11 \leqq 0 \quad \cdots \text{②} $$

まず、不等式①を解く。左辺を因数分解すると、

$$ (2x + 1)(x - 3) < 0 $$

となるので、不等式①の解は

$$ -\frac{1}{2} < x < 3 \quad \cdots \text{③} $$

である。

次に、不等式②を解く。2次方程式 $3x^2 - 4x - 11 = 0$ の解は、解の公式より

$$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 3 \cdot (-11)}}{3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 33}}{3} = \frac{2 \pm \sqrt{37}}{3} $$

となる。したがって、不等式②の解は

$$ \frac{2 - \sqrt{37}}{3} \leqq x \leqq \frac{2 + \sqrt{37}}{3} \quad \cdots \text{④} $$

である。

ここで、③と④の共通範囲を求めるために、境界となる値の大小関係を調べる。 $6 < \sqrt{37} < 7$ であるから、$\frac{2 - \sqrt{37}}{3}$ について評価すると、

$$ \frac{2 - 7}{3} < \frac{2 - \sqrt{37}}{3} < \frac{2 - 6}{3} $$

$$ -\frac{5}{3} < \frac{2 - \sqrt{37}}{3} < -\frac{4}{3} $$

となり、$-\frac{4}{3} < -\frac{1}{2}$ であるから、

$$ \frac{2 - \sqrt{37}}{3} < -\frac{1}{2} $$

であることがわかる。

同様に、$\frac{2 + \sqrt{37}}{3}$ について評価すると、

$$ \frac{2 + 6}{3} < \frac{2 + \sqrt{37}}{3} < \frac{2 + 7}{3} $$

$$ \frac{8}{3} < \frac{2 + \sqrt{37}}{3} < 3 $$

となるから、

$$ \frac{2 + \sqrt{37}}{3} < 3 $$

であることがわかる。

以上の大小関係より、

$$ \frac{2 - \sqrt{37}}{3} < -\frac{1}{2} < \frac{2 + \sqrt{37}}{3} < 3 $$

となるため、③と④の共通範囲を求めると、

$$ -\frac{1}{2} < x \leqq \frac{2 + \sqrt{37}}{3} $$

となる。

解説

基本的な2次不等式の連立問題である。片方の解に無理数が含まれるため、数直線上で共通範囲をとる際の境界値の大小比較がポイントとなる。平方根の近似値（今回は $\sqrt{36} < \sqrt{37} < \sqrt{49}$ より $6 < \sqrt{37} < 7$ であること）を用いて、有理数との大小を正確に評価することが重要である。また、不等号に等号が含まれるかどうかの違いにも注意して最終的な範囲を答える必要がある。

答え

$$ -\frac{1}{2} < x \leqq \frac{2 + \sqrt{37}}{3} $$