解説

方針・初手

2次不等式の解の形から、2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが上に凸であること（$a < 0$）、および方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}$ であることを読み取る。解と係数の関係を用いて $b, c$ を $a$ で表し、整数条件と最大公約数の条件から $a, b, c$ を特定する。

解法1

条件より、2次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ の解が $-\frac{3}{4} < x < \frac{1}{2}$ であるため、2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフは上に凸の放物線であり、x軸と $x = -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}$ で交わる。

したがって、

$$ a < 0 $$

であり、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解は $x = -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}$ である。

解と係数の関係より、

$$ \begin{aligned} -\frac{b}{a} &= -\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \\ \frac{c}{a} &= \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{8} \end{aligned} $$

これらを整理すると、

$$ \begin{aligned} b &= \frac{1}{4}a \\ c &= -\frac{3}{8}a \end{aligned} $$

となる。

$a, b, c$ は整数であるから、$b = \frac{1}{4}a$ と $c = -\frac{3}{8}a$ がともに整数となるためには、$a$ は 4 の倍数かつ 8 の倍数、すなわち 8 の倍数でなければならない。 よって、$k$ を整数として、

$$ a = 8k $$

とおける。これを代入すると、

$$ \begin{aligned} b &= 2k \\ c &= -3k \end{aligned} $$

となる。

ここで $a < 0$ であるから、$8k < 0$ より $k < 0$ である。

次に、$a, b, c$ の絶対値について考える。

$$ \begin{aligned} |a| &= 8|k| \\ |b| &= 2|k| \\ |c| &= 3|k| \end{aligned} $$

8, 2, 3 の最大公約数は 1 であるから、$|a|, |b|, |c|$ の最大公約数は $|k|$ となる。 問題の条件より、$a, b, c$ の各数の絶対値の最大公約数は 1 であるから、

$$ |k| = 1 $$

である。$k < 0$ であるから、

$$ k = -1 $$

と定まる。

したがって、求める値は、

$$ \begin{aligned} a &= 8 \cdot (-1) = -8 \\ b &= 2 \cdot (-1) = -2 \\ c &= -3 \cdot (-1) = 3 \end{aligned} $$

解説

2次不等式の解から係数を決定する典型的な問題である。 解が $\alpha < x < \beta$ の形になることから、2次の係数が負（$a < 0$）であることを見落とさないように注意する。ここを忘れると符号の特定ができなくなる。 また、「絶対値の最大公約数が1」という条件を用いて、整数倍の不定性を1つに絞り込む処理も重要である。複数の数の最大公約数を考える際、素因数分解や共通の約数を持つかを丁寧に確認することが求められる。

答え

$a = -8, b = -2, c = 3$