解説

方針・初手

2次関数の最大・最小に関する基本的な問題である。まずは平方完成を行い、頂点の座標を求める。(2)では、定義域 $0 \leqq x \leqq 5$ における関数の最小値が $0$ 以上となる条件を考える。放物線の軸 $x = \frac{a}{2}$ と定義域の位置関係によって場合分けを行う。この際、問題の前提条件である「$a$ は正の定数」を見落とさないようにする。

解法1

(1) 与えられた2次関数 $f(x)$ を平方完成する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^2 - ax + a + 8 \\ &= \left( x - \frac{a}{2} \right)^2 - \frac{a^2}{4} + a + 8 \end{aligned} $$

よって、放物線 $y = f(x)$ の頂点の座標は $\left( \frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + a + 8 \right)$ である。

(2) $0 \leqq x \leqq 5$ の範囲で常に $f(x) \geqq 0$ となるための条件は、この区間における $f(x)$ の最小値が $0$ 以上となることである。

放物線 $y = f(x)$ の軸は直線 $x = \frac{a}{2}$ である。問題の条件より $a > 0$ であるから、$\frac{a}{2} > 0$ であり、軸が定義域より左側（$x < 0$）にある場合は考えなくてよい。 したがって、軸と定義域の位置関係により、以下の2つの場合に分けて考える。

**(i)** $0 < \frac{a}{2} \leqq 5$ のとき

すなわち $0 < a \leqq 10$ のとき、区間内に頂点が含まれるため、最小値は $x = \frac{a}{2}$ のときにとる。

$$ f\left( \frac{a}{2} \right) = -\frac{a^2}{4} + a + 8 $$

条件より、$-\frac{a^2}{4} + a + 8 \geqq 0$ となればよい。両辺に $-4$ を掛けて整理する。

$$ a^2 - 4a - 32 \leqq 0 $$

$$ (a + 4)(a - 8) \leqq 0 $$

これを解くと $-4 \leqq a \leqq 8$ となる。 場合分けの条件 $0 < a \leqq 10$ との共通範囲を求めて、$0 < a \leqq 8$ を得る。

**(ii)** $5 < \frac{a}{2}$ のとき

すなわち $a > 10$ のとき、区間 $0 \leqq x \leqq 5$ において $f(x)$ は単調減少となるため、最小値は $x = 5$ のときにとる。

$$ f(5) = 5^2 - 5a + a + 8 = -4a + 33 $$

条件より、$-4a + 33 \geqq 0$ となればよい。

$$ 4a \leqq 33 $$

$$ a \leqq \frac{33}{4} $$

場合分けの条件 $a > 10$ と共通範囲を持たないため、この場合を満たす $a$ は存在しない。

**(i)**、**(ii)** より、求める $a$ の条件は $0 < a \leqq 8$ である。

解説

2次関数において「ある区間で常に $f(x) \geqq 0$」という条件は、「(その区間での最小値) $\geqq 0$」と言い換えて処理するのが定石である。本問のように定義域が固定され、関数の軸が文字パラメータに依存して動く場合は、軸の位置によって最小値をとる場所が変わるため場合分けが必要となる。

本問では、軸が $x = \frac{a}{2}$ であり、問題文で「$a$ は正の定数とする」と指定されている。これにより、軸が定義域より左側（$x \leqq 0$ すなわち $a \leqq 0$）になる場合を考える必要がなくなり、場合分けの手間が少し省けるようになっている。問題文の冒頭にある前提条件を確実にチェックする習慣をつけることが重要である。

答え

(1) $\left( \frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + a + 8 \right)$

(2) $0 < a \leqq 8$