解説

方針・初手

与えられた2次不等式の解の形から、対応する2次関数のグラフの概形と、$x$ 軸との交点の座標を決定する。不等式の解が区間 $-2 < x < 1$ となることから、$x^2$ の係数 $a$ の符号が負であることを見抜くのが第一歩である。解から逆算して不等式を作る方法と、解と係数の関係を用いる方法が考えられる。

解法1

解が $-2 < x < 1$ となるような最も単純な2次不等式は、

$$ (x+2)(x-1) < 0 $$

である。これを展開すると、

$$ x^2 + x - 2 < 0 $$

となる。与えられた不等式 $ax^2 - 2x + b > 0$ と不等号の向きが逆であることに着目する。 両辺に負の定数 $a$ ($a < 0$) を掛けると、不等号の向きが変わり、

$$ a(x^2 + x - 2) > 0 $$

すなわち

$$ ax^2 + ax - 2a > 0 $$

となる。これが与式 $ax^2 - 2x + b > 0$ と同じ解を持つので、各項の係数を比較すると、

$$ \begin{cases} a = -2 \\ -2a = b \end{cases} $$

第1式より $a = -2$。これは前提である $a < 0$ を満たしている。 第2式に $a = -2$ を代入して、

$$ b = -2 \times (-2) = 4 $$

解法2

2次関数 $y = ax^2 - 2x + b$ のグラフを考える。 不等式 $ax^2 - 2x + b > 0$ の解が $-2 < x < 1$ という有限の区間になるためには、グラフは上に凸の放物線でなければならない。したがって、

$$ a < 0 $$

である。さらに、この放物線は $x$ 軸と $x = -2$ および $x = 1$ で交わる。 すなわち、2次方程式 $ax^2 - 2x + b = 0$ の2つの解が $x = -2, 1$ である。 解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} (-2) + 1 = -\frac{-2}{a} \\ (-2) \times 1 = \frac{b}{a} \end{cases} $$

第1式より、

$$ -1 = \frac{2}{a} $$

よって

$$ a = -2 $$

これは $a < 0$ を満たす。 第2式より、

$$ -2 = \frac{b}{a} $$

これに $a = -2$ を代入して、

$$ -2 = \frac{b}{-2} $$

よって

$$ b = 4 $$

解説

2次不等式の解と係数を結びつける典型問題である。 解法1のように解から不等式を逆算して係数比較を行う手法は、記述が簡潔になり計算ミスも起こりにくい。この際、不等号の向きを一致させるために掛ける定数が負であることを明記することが論理的正確性のために重要である。 解法2の解と係数の関係を利用する手法も王道である。こちらでも、グラフが上に凸であることから $a<0$ の条件を忘れずに確認する必要がある。

答え

$a = -2, b = 4$