解説

方針・初手

与えられた2次不等式の解の形 $3 < x < 4$ から、対応する2次関数 $y = ax^2 + x + b$ のグラフの概形を把握する。グラフが上に凸か下に凸かを判断し、放物線と $x$ 軸との交点の座標から $a, b$ の値を決定していく。

解法1

$x$ についての2次不等式 $ax^2 + x + b > 0$ の解が $3 < x < 4$ となるための条件を考える。

不等式の解が $x$ のある有限な区間となることから、2次関数 $y = ax^2 + x + b$ のグラフは上に凸の放物線であり、$x$ 軸との交点の $x$ 座標が $x = 3, 4$ でなければならない。

グラフが上に凸であることより、

$$ a < 0 $$

である。

また、2次方程式 $ax^2 + x + b = 0$ の2つの解が $x = 3, 4$ であるから、解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} 3 + 4 = -\frac{1}{a} \\ 3 \cdot 4 = \frac{b}{a} \end{cases} $$

が成り立つ。第1式より、

$$ 7 = -\frac{1}{a} $$

$$ a = -\frac{1}{7} $$

となり、これは $a < 0$ を満たす。

この $a$ の値を第2式に代入して、

$$ 12 = \frac{b}{-\frac{1}{7}} $$

$$ 12 = -7b $$

$$ b = -\frac{12}{7} $$

したがって、求める定数の値は決まる。

解法2

解が $3 < x < 4$ となるような、最もシンプルな2次不等式を作成し、それを変形して与式と係数を比較する。

解が $3 < x < 4$ である2次不等式の一つは、

$$ (x - 3)(x - 4) < 0 $$

である。これを展開すると、

$$ x^2 - 7x + 12 < 0 $$

となる。

与えられた不等式 $ax^2 + x + b > 0$ において、一次の項の係数は $1$ であり、不等号の向きは $>$ である。 そこで、先ほど導いた不等式 $x^2 - 7x + 12 < 0$ の両辺に $-\frac{1}{7}$ を掛ける。負の数を掛けるため不等号の向きが反転することに注意すると、

$$ -\frac{1}{7} (x^2 - 7x + 12) > 0 $$

$$ -\frac{1}{7}x^2 + x - \frac{12}{7} > 0 $$

となる。この不等式は解が $3 < x < 4$ であり、一次の項の係数が $1$ であるため、与式 $ax^2 + x + b > 0$ と完全に一致する。

両辺の係数を比較して、

$$ a = -\frac{1}{7}, \quad b = -\frac{12}{7} $$

解説

2次不等式の解から元の不等式の係数を決定する典型問題である。解法1のようにグラフの概形と解と係数の関係を利用する方法と、解法2のように解から不等式を逆算して係数比較を行う方法のいずれも重要である。

特に、$ax^2 + x + b > 0$ の解が $3 < x < 4$ と「挟まれる形」になるためには、$a < 0$（グラフが上に凸）であることが必須である。この条件を意識せずに計算だけを進めると、見落としにつながる可能性があるため注意したい。

答え

$$ a = -\frac{1}{7}, \quad b = -\frac{12}{7} $$