解説

方針・初手

(1)と(2)で不等式における変数の扱いが異なる点に注意する。 (1)は独立した2つの変数 $s, t$ に対する不等式であるため、$f(x)$ の最小値と $g(x)$ の最大値の大小関係に帰着させる。 (2)は共通の1つの変数 $x$ に対する不等式であるため、$F(x) = f(x) - g(x)$ とおき、与えられた区間において $F(x) \geqq 0$ が常に成り立つ条件（すなわち区間における最小値が0以上となること）を考える。

解法1

**(1)**

すべての実数 $s, t$ に対して $f(s) \geqq g(t)$ が成り立つための条件は、関数 $f(x)$ の最小値が関数 $g(x)$ の最大値以上となることである。

$$ f(x) = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 $$ より、$f(x)$ は $x = 1$ のとき最小値 $1$ をとる。

$$ g(x) = -x^2 + ax + a = -\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \frac{a^2}{4} + a $$ より、$g(x)$ は $x = \frac{a}{2}$ のとき最大値 $\frac{a^2}{4} + a$ をとる。

したがって、求める条件は $$ 1 \geqq \frac{a^2}{4} + a $$ $$ a^2 + 4a - 4 \leqq 0 $$

方程式 $a^2 + 4a - 4 = 0$ の解は $a = -2 \pm 2\sqrt{2}$ であるから、求める $a$ の値の範囲は $$ -2 - 2\sqrt{2} \leqq a \leqq -2 + 2\sqrt{2} $$

**(2)**

$0 \leqq x \leqq 1$ をみたす範囲で常に $f(x) \geqq g(x)$ が成り立つための条件は、$0 \leqq x \leqq 1$ をみたす範囲で $$ F(x) = f(x) - g(x) = (x^2 - 2x + 2) - (-x^2 + ax + a) = 2x^2 - (a + 2)x + 2 - a $$ としたとき、常に $F(x) \geqq 0$ が成り立つこと、すなわち区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における $F(x)$ の最小値が $0$ 以上となることである。

$$ F(x) = 2\left(x - \frac{a + 2}{4}\right)^2 - \frac{(a + 2)^2}{8} + 2 - a $$ より、$y = F(x)$ のグラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x = \frac{a + 2}{4}$ である。 軸の位置によって場合分けを行う。

**(i)** $\frac{a + 2}{4} < 0$ すなわち $a < -2$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、$F(x)$ は単調に増加する。 よって最小値は $F(0) = 2 - a$ であるから $$ 2 - a \geqq 0 $$ $$ a \leqq 2 $$ これと場合分けの条件 $a < -2$ より、$a < -2$。

**(ii)** $0 \leqq \frac{a + 2}{4} \leqq 1$ すなわち $-2 \leqq a \leqq 2$ のとき

区間内に頂点が含まれるため、最小値は頂点の $y$ 座標である。 $$ -\frac{(a + 2)^2}{8} + 2 - a \geqq 0 $$ $$ -(a^2 + 4a + 4) + 16 - 8a \geqq 0 $$ $$ a^2 + 12a - 12 \leqq 0 $$ 方程式 $a^2 + 12a - 12 = 0$ の解は $a = -6 \pm \sqrt{36 - (-12)} = -6 \pm 4\sqrt{3}$ であるから $$ -6 - 4\sqrt{3} \leqq a \leqq -6 + 4\sqrt{3} $$ ここで $\sqrt{48} > \sqrt{36} = 6$ より $-6 + 4\sqrt{3} > 0$ であり、また $\sqrt{48} < \sqrt{64} = 8$ より $-6 + 4\sqrt{3} < 2$ である。 これを考慮すると、場合分けの条件 $-2 \leqq a \leqq 2$ との共通範囲は $$ -2 \leqq a \leqq -6 + 4\sqrt{3} $$

**(iii)** $1 < \frac{a + 2}{4}$ すなわち $2 < a$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、$F(x)$ は単調に減少する。 よって最小値は $F(1) = 2 - (a + 2) + 2 - a = 2 - 2a$ であるから $$ 2 - 2a \geqq 0 $$ $$ a \leqq 1 $$ これは場合分けの条件 $a > 2$ と矛盾するため、適さない。

以上 **(i)** 〜 **(iii)** より、求める $a$ の値の範囲はこれらを合わせて $$ a \leqq -6 + 4\sqrt{3} $$

解法2

**(2)の別解（定数分離と微分）**

与えられた不等式 $f(x) \geqq g(x)$ を整理する。 $$ x^2 - 2x + 2 \geqq -x^2 + ax + a $$ $$ 2x^2 - 2x + 2 \geqq a(x + 1) $$ 区間 $0 \leqq x \leqq 1$ においては常に $x + 1 > 0$ であるから、両辺を $x + 1$ で割って $$ a \leqq \frac{2(x^2 - x + 1)}{x + 1} $$ これが $0 \leqq x \leqq 1$ のすべての $x$ に対して成り立つための条件は、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における関数 $h(x) = \frac{2(x^2 - x + 1)}{x + 1}$ の最小値が $a$ 以上となることである。

$h(x)$ を微分する前に、分子を $x + 1$ で割って式を変形する。 $x^2 - x + 1 = (x + 1)(x - 2) + 3$ より $$ h(x) = \frac{2 \{(x + 1)(x - 2) + 3\}}{x + 1} = 2 \left( x - 2 + \frac{3}{x + 1} \right) $$ これを $x$ で微分すると $$ h'(x) = 2 \left( 1 - \frac{3}{(x + 1)^2} \right) = 2 \cdot \frac{(x + 1)^2 - 3}{(x + 1)^2} $$ $h'(x) = 0$ となる $x$ は $(x + 1)^2 = 3$ より $x = -1 \pm \sqrt{3}$ $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲に存在する極値をとる $x$ は $x = \sqrt{3} - 1$ のみである。

$0 \leqq x \leqq 1$ における $h(x)$ の増減表は以下のようになる。

| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $\sqrt{3} - 1$ | $\cdots$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $h'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $h(x)$ | $2$ | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ | $1$ |

よって、$h(x)$ は $x = \sqrt{3} - 1$ で最小値をとる。 最小値は $$ h(\sqrt{3} - 1) = 2 \left( (\sqrt{3} - 1) - 2 + \frac{3}{(\sqrt{3} - 1) + 1} \right) = 2 (\sqrt{3} - 3 + \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 6 $$ したがって、求める条件は $$ a \leqq 4\sqrt{3} - 6 $$

解説

(1)と(2)で「すべての変数に対して不等式が成り立つ条件」の意味合いが異なる点が本問の最大のテーマである。 (1)のように変数が独立に動く場合は、それぞれの関数の取りうる値の範囲（最大値と最小値）の比較に帰着する。 (2)のように共通の変数についての不等式の場合は、差をとった関数を定義し、それが指定の区間で常に0以上になる条件を考えるのが定石である。

(2)では2次関数の軸が定数 $a$ によって動くため、定義域との位置関係による場合分けが必要となる（解法1）。場合分けの計算がやや煩雑になるため、定数 $a$ を分離して分数関数の微分を用いる手法（解法2）も有効である。数学IIIの微分の範囲となるが、計算ミスを防ぐ観点からは有力な選択肢となる。

答え

(1) $$ -2 - 2\sqrt{2} \leqq a \leqq -2 + 2\sqrt{2} $$

(2) $$ a \leqq -6 + 4\sqrt{3} $$