解説

方針・初手

与えられた式は「2次方程式」と記載されているが、不等号が含まれているため2次不等式として解く。まずは左辺を $x$ について因数分解し、不等式の解の範囲を $a$ を用いて表す。$a$ が正の整数であることを利用して解の範囲の下限と上限の大小関係を確定させる。その後、範囲内に含まれる整数を具体的に書き下し、その個数がちょうど10個となるような上限の条件を不等式で立式する。

解法1

与えられた2次不等式は以下の通りである。

$$ 6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0 $$

左辺をたすき掛けにより因数分解する。

$$ (2x - (2a+1))(3x - (5a+2)) < 0 $$

ここで、$2x - (2a+1) = 0$ と $3x - (5a+2) = 0$ の解はそれぞれ

$$ x = \frac{2a+1}{2} = a + \frac{1}{2} $$

$$ x = \frac{5a+2}{3} $$

である。これら2つの値の大小関係を調べるため、差をとる。

$$ \frac{5a+2}{3} - \left(a + \frac{1}{2}\right) = \frac{2(5a+2) - 3(2a+1)}{6} = \frac{10a+4 - 6a - 3}{6} = \frac{4a+1}{6} $$

$a$ は正の整数であるから $\frac{4a+1}{6} > 0$ であり、したがって

$$ a + \frac{1}{2} < \frac{5a+2}{3} $$

が成り立つ。よって、2次不等式の解は次のようになる。

$$ a + \frac{1}{2} < x < \frac{5a+2}{3} $$

$a$ は整数であるため、この範囲に含まれる最小の整数は $a + 1$ である。条件より、この範囲に含まれる整数 $x$ がちょうど 10 個であるから、それらの整数は

$$ a+1, a+2, a+3, \dots, a+10 $$

となる。これが成り立つためには、範囲の上限である $\frac{5a+2}{3}$ が $a+10$ と $a+11$ の間にあればよい。したがって、次の連立不等式を満たす必要がある。

$$ a+10 < \frac{5a+2}{3} \le a+11 $$

これを解いて $a$ の範囲を求める。

**(i)** 左側の不等式 $a+10 < \frac{5a+2}{3}$ を解く。

両辺を 3 倍して整理する。

$$ 3a + 30 < 5a + 2 $$

$$ 28 < 2a $$

$$ a > 14 $$

**(ii)** 右側の不等式 $\frac{5a+2}{3} \le a+11$ を解く。

両辺を 3 倍して整理する。

$$ 5a + 2 \le 3a + 33 $$

$$ 2a \le 31 $$

$$ a \le \frac{31}{2} = 15.5 $$

**(i)** および **(ii)** より、$a$ の満たすべき範囲は次のようになる。

$$ 14 < a \le 15.5 $$

$a$ は正の整数であるから、この範囲に含まれる $a$ の値は 15 のみである。

解説

文字定数を含む2次不等式を解き、その解に含まれる整数の個数から定数の値を決定する典型的な問題である。 因数分解後に現れる2つの境界値 $a + \frac{1}{2}$ と $\frac{5a+2}{3}$ の大小関係を、差をとって調べる手順を丁寧に踏むことが重要である。また、下限 $a+\frac{1}{2}$ のすぐ右側にある整数が $a+1$ と確定できるため、題意を満たす10個の整数を具体的に $a+1, \dots, a+10$ と書き下すことができる。これにより、右端の境界が満たすべき条件を数直線上で視覚的に捉えやすくなり、不等式の等号の有無でのミスを防ぐことができる。

答え

$a = 15$