解説

方針・初手

与えられた連立不等式を構成する2つの2次不等式をそれぞれ解き、$x$ の値の範囲を求める。その後、2つの範囲の共通部分を求め、その範囲に含まれる整数をすべて拾い上げる。

解法1

与えられた連立不等式は以下の通りである。

$$ \begin{cases} x^2 - 3x - 6 \geqq -2 \quad \cdots \text{①} \\ x^2 - 3x - 6 < 2x \quad \cdots \text{②} \end{cases} $$

まず、不等式①を解く。右辺の $-2$ を左辺に移項して整理する。

$$ x^2 - 3x - 4 \geqq 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ (x - 4)(x + 1) \geqq 0 $$

これを解いて、以下の範囲を得る。

$$ x \leqq -1, \quad 4 \leqq x \quad \cdots \text{①}' $$

次に、不等式②を解く。右辺の $2x$ を左辺に移項して整理する。

$$ x^2 - 5x - 6 < 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ (x - 6)(x + 1) < 0 $$

これを解いて、以下の範囲を得る。

$$ -1 < x < 6 \quad \cdots \text{②}' $$

①' と ②' の共通範囲を求める。数直線上で考えると、$x \leqq -1$ と $-1 < x$ の部分は共通部分を持たず、$4 \leqq x$ と $x < 6$ の部分が重なることがわかる。したがって、共通範囲は次のようになる。

$$ 4 \leqq x < 6 $$

問題では、この範囲を満たす整数 $x$ の値をすべて求めることが要求されている。$4 \leqq x < 6$ を満たす整数は $4$ と $5$ である。

解説

2次不等式の基本的な解法と、連立不等式の共通範囲の求め方を問う標準的な問題である。因数分解を正確に行い、それぞれの不等式の解を正しく導出することが第一歩となる。その後、求めた2つの範囲の共通部分を考える際、不等号の等号（$\geqq$ や $<$）の有無に注意して共通範囲を正確に把握することが重要である。最後に「整数 $x$ の値」を求めるという条件を見落とさないようにしたい。

答え

$$ 4, 5 $$