解説

方針・初手

ガウス記号 $[x]$ は、実数 $x$ を超えない最大の整数を表す。(1) では単純に2次不等式を解き、その範囲に含まれる整数を特定する。(2) では $[x]$ が整数であることを利用し、(1) の結果をそのまま用いる。(3) では (2) で求めた範囲において、$[x]$ の値で場合分けを行い、方程式を解く。求めた $x$ が場合分けの条件（定義域）を満たすかどうかの確認を忘れないこと。

解法1

(1) 2次方程式 $n^2 - 5n + 5 = 0$ の解は、解の公式より

$$ n = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} $$

である。

したがって、不等式 $n^2 - 5n + 5 < 0$ の解は

$$ \frac{5 - \sqrt{5}}{2} < n < \frac{5 + \sqrt{5}}{2} $$

となる。

ここで、$2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、

$$ \frac{5 - 3}{2} < \frac{5 - \sqrt{5}}{2} < \frac{5 - 2}{2} \iff 1 < \frac{5 - \sqrt{5}}{2} < 1.5 $$

および

$$ \frac{5 + 2}{2} < \frac{5 + \sqrt{5}}{2} < \frac{5 + 3}{2} \iff 3.5 < \frac{5 + \sqrt{5}}{2} < 4 $$

である。

これより、不等式を満たす整数 $n$ は $n = 2, 3$ である。

(2) $[x]$ は整数であるから、$n = [x]$ とおくと、与えられた不等式は $n^2 - 5n + 5 < 0$ となる。

(1) の結果より、これを満たす整数 $n$ は $n = 2, 3$ である。

すなわち、

$$ [x] = 2 \quad \text{または} \quad [x] = 3 $$

である。

$[x] = 2$ のとき、定義より $2 \leqq x < 3$ である。

$[x] = 3$ のとき、定義より $3 \leqq x < 4$ である。

よって、求める実数 $x$ の範囲はこれらを合わせて

$$ 2 \leqq x < 4 $$

である。

(3) (2) より、$2 \leqq x < 4$ であり、この範囲における $[x]$ の値は $2$ または $3$ である。これらについて場合分けを行う。

**(i)** $[x] = 2$ （すなわち $2 \leqq x < 3$）のとき

与えられた方程式は

$$ x^2 - 5 \cdot 2 + 5 = 0 $$

$$ x^2 = 5 $$

となる。これを解くと $x = \pm \sqrt{5}$ となる。

$2 = \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} = 3$ であるから、$x = \sqrt{5}$ は $2 \leqq x < 3$ を満たす。$x = -\sqrt{5}$ は不適である。

**(ii)** $[x] = 3$ （すなわち $3 \leqq x < 4$）のとき

与えられた方程式は

$$ x^2 - 5 \cdot 3 + 5 = 0 $$

$$ x^2 = 10 $$

となる。これを解くと $x = \pm \sqrt{10}$ となる。

$3 = \sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16} = 4$ であるから、$x = \sqrt{10}$ は $3 \leqq x < 4$ を満たす。$x = -\sqrt{10}$ は不適である。

**(i)**、**(ii)** より、求める $x$ の値は $x = \sqrt{5}, \sqrt{10}$ である。

解説

ガウス記号を含む方程式や不等式の基本的な扱い方を問う問題である。

$[x]$ は実数ではなく「整数」として振る舞うことが最大のポイントである。(2) のように不等式に $[x]$ が含まれている場合、$[x]$ を1つの変数と見立てて不等式を解き、その範囲にある「整数値」を特定する。

そして特定された $[x]$ の値から、元の $x$ の範囲に戻すのが定石である。

(3) のようにガウス記号 $[x]$ と $x$ 自身が混在する方程式では、$[x]$ の値が確定するような範囲（つまり幅が1の区間）で場合分けを行うことで、$[x]$ を定数として扱うことができ、普通の方程式に帰着できる。得られた解が、設定した範囲（条件）を満たしているかどうかの確認を忘れないようにする。

答え

(1) $n = 2, 3$

(2) $2 \leqq x < 4$

(3) $x = \sqrt{5}, \sqrt{10}$