解説

方針・初手

ただ1つの共通解を $\alpha$ とおいて2つの方程式に代入し、辺々を引いて $\alpha^2$ の項を消去する。導かれた条件から共通解 $\alpha$ の値を特定し、その後の「共通でない解」については、解と係数の関係を利用して和を求めるのが見通しの良い方針である。

解法1

2つの方程式がもつただ1つの共通解を $\alpha$ とおくと、以下の2式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha^2 - a\alpha + 5b = 0 & \cdots \text{①} \\ \alpha^2 - b\alpha + 5a = 0 & \cdots \text{②} \end{cases} $$

① $-$ ② より、

$$ -(a - b)\alpha - 5(a - b) = 0 $$

$$ (a - b)(\alpha + 5) = 0 $$

ここで、$a = b$ と仮定すると、与えられた2つの方程式はどちらも $x^2 - ax + 5a = 0$ となり完全に一致する。このとき、2つの方程式の解はすべて共通となり、「ただ1つの共通解をもつ」という条件を満たさない（あるいは共通でない解が存在しなくなる）。したがって、2つの方程式は異なる必要があり、$a \neq b$ である。

よって、$a - b \neq 0$ であるから、両辺を $a - b$ で割って、

$$ \alpha = -5 $$

これが共通解である。$\alpha = -5$ を①に代入すると、

$$ 25 + 5a + 5b = 0 $$

$$ a + b = -5 \quad \cdots \text{③} $$

次に、$x^2 - ax + 5b = 0$ の共通でない解を $\beta$、$x^2 - bx + 5a = 0$ の共通でない解を $\gamma$ とおく。 解と係数の関係（解の和）より、

$$ \begin{cases} -5 + \beta = a \\ -5 + \gamma = b \end{cases} $$

これらを変形すると、$\beta = a + 5$、$\gamma = b + 5$ となる。 求めるものは共通でない解の和 $\beta + \gamma$ であるから、③を用いて計算すると、

$$ \begin{aligned} \beta + \gamma &= (a + 5) + (b + 5) \\ &= a + b + 10 \\ &= -5 + 10 \\ &= 5 \end{aligned} $$

解説

2次方程式の共通解問題における定石通りの解法である。「共通解を $\alpha$ とおいて代入し、引き算によって最高次の項を消去する」というアプローチは非常に汎用性が高い。

方程式を引いて得られた $(a - b)(\alpha + 5) = 0$ の処理において、「なぜ $a = b$ ではないのか」を記述することが重要である。方程式が一致してしまうと題意の「ただ1つ」に反するという論理を忘れないようにしたい。

また、後半で共通でない解を求める際、実際に解の公式を用いて解を求めるのではなく、「解と係数の関係」を活用することで、計算量を減らしてミスを防ぐことができる。なお、解と係数の関係の積の方（$-5\beta = 5b$ など）を利用して $\beta = -b$、$\gamma = -a$ を導き、$\beta + \gamma = -(a + b) = 5$ と計算してもよい。

答え

5