解説

方針・初手

与えられた式の展開をそのまま実行すると非常に計算が煩雑になるため、因数定理（解と係数の関係）を利用して多項式の値の積に帰着させる。

2次方程式の解が与えられていることから、各2次式は $x^2 - px + 1 = (x - \alpha)(x - \beta)$ および $x^2 - x + q = (x - \alpha')(x - \beta')$ と因数分解できる。この恒等式を利用して求める式を簡潔に表現し、さらに解が元の方程式を満たすことを用いて次数下げを行うとよい。

解法1

$f(x) = x^2 - px + 1$ とおく。

2次方程式 $f(x) = 0$ の解が $\alpha, \beta$ であるから、因数定理より以下が成り立つ。

$$ f(x) = (x - \alpha)(x - \beta) $$

求める式を $P$ とおくと、$P$ は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} P &= (\alpha' - \alpha)(\alpha' - \beta)(\beta' - \alpha)(\beta' - \beta) \\ &= \{ (\alpha' - \alpha)(\alpha' - \beta) \} \{ (\beta' - \alpha)(\beta' - \beta) \} \\ &= f(\alpha') f(\beta') \end{aligned} $$

ここで、$\alpha', \beta'$ は2次方程式 $x^2 - x + q = 0$ の解であるから、これらを代入して成り立つ関係式から次数を下げる。

$$ \begin{cases} \alpha'^2 - \alpha' + q = 0 \implies \alpha'^2 = \alpha' - q \\ \beta'^2 - \beta' + q = 0 \implies \beta'^2 = \beta' - q \end{cases} $$

これらを用いて、$f(\alpha')$ と $f(\beta')$ をそれぞれ1次式に帰着させる。

$$ \begin{aligned} f(\alpha') &= \alpha'^2 - p\alpha' + 1 \\ &= (\alpha' - q) - p\alpha' + 1 \\ &= (1 - p)\alpha' + 1 - q \end{aligned} $$

同様に、

$$ f(\beta') = (1 - p)\beta' + 1 - q $$

したがって、$P$ は次のように展開できる。

$$ \begin{aligned} P &= \{ (1 - p)\alpha' + 1 - q \} \{ (1 - p)\beta' + 1 - q \} \\ &= (1 - p)^2 \alpha'\beta' + (1 - p)(1 - q)(\alpha' + \beta') + (1 - q)^2 \end{aligned} $$

また、2次方程式 $x^2 - x + q = 0$ における解と係数の関係から、以下が成り立つ。

$$ \alpha' + \beta' = 1, \quad \alpha'\beta' = q $$

これらを $P$ の式に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} P &= (1 - p)^2 \cdot q + (1 - p)(1 - q) \cdot 1 + (1 - q)^2 \\ &= q(1 - 2p + p^2) + (1 - p - q + pq) + (1 - 2q + q^2) \\ &= (q - 2pq + p^2q) + 1 - p - q + pq + 1 - 2q + q^2 \\ &= p^2q - pq + q^2 - p - 2q + 2 \end{aligned} $$

解法2

$g(x) = x^2 - x + q$ とおく。

2次方程式 $g(x) = 0$ の解が $\alpha', \beta'$ であるから、因数定理より以下が成り立つ。

$$ g(x) = (x - \alpha')(x - \beta') $$

求める式を $P$ とおくと、各因数の符号を反転させることで $g(x)$ の形を作り出すことができる。

$$ \begin{aligned} P &= (\alpha' - \alpha)(\alpha' - \beta)(\beta' - \alpha)(\beta' - \beta) \\ &= (\alpha - \alpha')(\beta - \alpha')(\alpha - \beta')(\beta - \beta') \\ &= \{ (\alpha - \alpha')(\alpha - \beta') \} \{ (\beta - \alpha')(\beta - \beta') \} \\ &= g(\alpha) g(\beta) \end{aligned} $$

ここで、$\alpha, \beta$ は2次方程式 $x^2 - px + 1 = 0$ の解であるから、以下の関係が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha^2 - p\alpha + 1 = 0 \implies \alpha^2 = p\alpha - 1 \\ \beta^2 - p\beta + 1 = 0 \implies \beta^2 = p\beta - 1 \end{cases} $$

これらを用いて、$g(\alpha)$ と $g(\beta)$ の次数を下げる。

$$ \begin{aligned} g(\alpha) &= \alpha^2 - \alpha + q \\ &= (p\alpha - 1) - \alpha + q \\ &= (p - 1)\alpha + q - 1 \end{aligned} $$

同様に、

$$ g(\beta) = (p - 1)\beta + q - 1 $$

したがって、$P$ は次のように展開できる。

$$ \begin{aligned} P &= \{ (p - 1)\alpha + q - 1 \} \{ (p - 1)\beta + q - 1 \} \\ &= (p - 1)^2 \alpha\beta + (p - 1)(q - 1)(\alpha + \beta) + (q - 1)^2 \end{aligned} $$

2次方程式 $x^2 - px + 1 = 0$ における解と係数の関係から、$\alpha + \beta = p, \alpha\beta = 1$ であるため、これらを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} P &= (p - 1)^2 \cdot 1 + (p - 1)(q - 1) \cdot p + (q - 1)^2 \\ &= (p^2 - 2p + 1) + p(pq - p - q + 1) + (q^2 - 2q + 1) \\ &= p^2 - 2p + 1 + p^2q - p^2 - pq + p + q^2 - 2q + 1 \\ &= p^2q - pq + q^2 - p - 2q + 2 \end{aligned} $$

解説

2つの多項式の根の差の積を求める、いわゆる「終結式」にも関連する典型的な対称式の計算問題である。与えられた式を単に力任せに展開して $\alpha+\beta$ などの基本対称式を作ろうとすると、項数が多くなり計算ミスを誘発しやすい。

解法1や解法2のように、2次式を関数 $f(x)$ や $g(x)$ と捉え、「因数定理による恒等式の作成」と「方程式の解であることを利用した次数下げ」を組み合わせる手法が非常に有効である。どちらの方程式を軸にするかで2つの解法が考えられるが、本質的な計算量や論理展開は同等であるため、思いつきやすい方を選択すればよい。

答え

$$ p^2q - pq + q^2 - p - 2q + 2 $$