解説

方針・初手

実数 $x$ に対して、与えられた方程式を満たす実数 $a$ が $0 < a < 2$ の範囲に存在するための $x$ の条件を考える。 1つ目の解法は、与式を $a$ についての2次方程式とみなし、解の配置問題として処理する方法である。 2つ目の解法は、与式を $x$ について解き、$a$ の関数として $0 < a < 2$ における値域を直接求める方法である。

解法1

与えられた方程式を $a$ について整理すると

$$2a^2 - 2xa + x^2 - 2x - 6 = 0$$

となる。求める $x$ の値の範囲は、この $a$ についての2次方程式が $0 < a < 2$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつための条件と一致する。

$f(a) = 2a^2 - 2xa + x^2 - 2x - 6$ とおく。 $y = f(a)$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸の方程式は $a = \frac{x}{2}$ である。 方程式 $f(a) = 0$ が $0 < a < 2$ の範囲に少なくとも1つの解をもつのは、次の (i), (ii) のいずれかの場合である。

**(i)** $0 < a < 2$ の範囲にただ1つの解をもつ場合

これは $f(0)$ と $f(2)$ の符号が異なるときに成り立つ。

$$f(0)f(2) < 0$$

$f(0) = x^2 - 2x - 6$ $f(2) = 8 - 4x + x^2 - 2x - 6 = x^2 - 6x + 2$

であるから

$$(x^2 - 2x - 6)(x^2 - 6x + 2) < 0$$

$x^2 - 2x - 6 = 0$ の解は $x = 1 \pm \sqrt{7}$ であり、$x^2 - 6x + 2 = 0$ の解は $x = 3 \pm \sqrt{7}$ である。 ここで、大小関係を比較すると

$$1 - \sqrt{7} < 3 - \sqrt{7} < 1 + \sqrt{7} < 3 + \sqrt{7}$$

であるから、不等式の解は

$$1 - \sqrt{7} < x < 3 - \sqrt{7}, \quad 1 + \sqrt{7} < x < 3 + \sqrt{7}$$

となる。なお、$f(0)=0$ または $f(2)=0$ となる端点の場合を調べる。 $f(0) = 0$ すなわち $x = 1 \pm \sqrt{7}$ のとき、$f(a) = 2a^2 - 2(1\pm\sqrt{7})a = 0$ より $a = 0, 1\pm\sqrt{7}$ であるが、$1+\sqrt{7} > 2$、$1-\sqrt{7} < 0$ より $0 < a < 2$ に解をもたない。 $f(2) = 0$ すなわち $x = 3 \pm \sqrt{7}$ のとき、$f(a) = 0$ の解の1つは $a=2$ であり、解と係数の関係より解の和は $x$ であるため、もう1つの解は $x - 2 = 1 \pm \sqrt{7}$ となる。これも $0 < a < 2$ の範囲にない。 よって、端点を通る場合は条件を満たさない。

**(ii)** $0 < a < 2$ の範囲に2つの解（重解を含む）をもつ場合

判別式を $D$ とすると、次の条件がすべて成り立つ必要がある。

$$\begin{cases} D \ge 0 \\ 0 < \frac{x}{2} < 2 \\ f(0) > 0 \\ f(2) > 0 \end{cases}$$

$\frac{D}{4} = x^2 - 2(x^2 - 2x - 6) = -x^2 + 4x + 12$ より

$$x^2 - 4x - 12 \le 0 \iff -2 \le x \le 6$$

また、軸の条件より $0 < x < 4$ である。 $f(0) > 0 \iff x < 1 - \sqrt{7}, \quad 1 + \sqrt{7} < x$ これらを満たす $x$ の共通範囲は $1 + \sqrt{7} < x < 4$ である。 さらに、$f(2) > 0 \iff x < 3 - \sqrt{7}, \quad 3 + \sqrt{7} < x$ しかし、この範囲は $1 + \sqrt{7} < x < 4$ と共通部分をもたない。 よって、この場合を満たす実数 $x$ は存在しない。

以上より、求める $x$ の値の範囲は

$$1 - \sqrt{7} < x < 3 - \sqrt{7}, \quad 1 + \sqrt{7} < x < 3 + \sqrt{7}$$

解法2

与えられた方程式を $x$ についての2次方程式として解く。

$$x^2 - 2(a+1)x + 2a^2 - 6 = 0$$

解の公式より

$$x = a + 1 \pm \sqrt{(a+1)^2 - (2a^2 - 6)} = a + 1 \pm \sqrt{-a^2 + 2a + 7}$$

実数解が存在するための条件は根号内が0以上であることだが、$g(a) = -a^2 + 2a + 7 = -(a-1)^2 + 8$ とすると、$0 < a < 2$ において $7 < g(a) \le 8$ となり、常に正である。したがって、常に2つの異なる実数解をもつ。

求める $x$ の範囲は、$0 < a < 2$ において

$$x_1(a) = a + 1 - \sqrt{-a^2 + 2a + 7}$$

$$x_2(a) = a + 1 + \sqrt{-a^2 + 2a + 7}$$

がそれぞれとりうる値の範囲を合わせたものになる。

それぞれの関数について、導関数を求める。

$$x_1'(a) = 1 - \frac{-2a + 2}{2\sqrt{-a^2 + 2a + 7}} = \frac{\sqrt{-a^2 + 2a + 7} + (a - 1)}{\sqrt{-a^2 + 2a + 7}}$$

$$x_2'(a) = 1 + \frac{-2a + 2}{2\sqrt{-a^2 + 2a + 7}} = \frac{\sqrt{-a^2 + 2a + 7} - (a - 1)}{\sqrt{-a^2 + 2a + 7}}$$

$0 < a < 2$ において $-1 < a - 1 < 1$ であり、$\sqrt{-a^2 + 2a + 7} \ge \sqrt{7} > 1$ であるため、

$$\sqrt{-a^2 + 2a + 7} \pm (a - 1) > 0$$

が常に成り立つ。 よって、$0 < a < 2$ において $x_1'(a) > 0$ かつ $x_2'(a) > 0$ となり、$x_1(a)$ と $x_2(a)$ はともに単調増加である。

したがって、$0 < a < 2$ における各関数の値域は、端点を含まないため

$$x_1(0) < x_1(a) < x_1(2) \iff 1 - \sqrt{7} < x_1(a) < 3 - \sqrt{7}$$

$$x_2(0) < x_2(a) < x_2(2) \iff 1 + \sqrt{7} < x_2(a) < 3 + \sqrt{7}$$

となる。これらが求める $x$ の範囲である。

解説

本問は、「与えられた文字の方程式を満たすような、別の文字の条件」を求める値域や存在条件の追求の典型問題である。 解法1のように主役の文字を切り替えて「$a$ の方程式の解の配置問題（逆像法）」として捉えるアプローチと、解法2のように「$a$ の関数としての $x$ の値域（順像法）」を直接計算するアプローチの2通りが考えられる。 解法1は2次方程式の解の配置に帰着できるため初手として選びやすいが、条件の絞り込み（場合分けや端点の吟味）でミスが起きやすい。解法2は無理関数の微分を伴うため計算量は増えるが、論理はシンプルで迷いにくい。どちらのアプローチも使いこなせるようにしておきたい。

答え

$$1 - \sqrt{7} < x < 3 - \sqrt{7}, \quad 1 + \sqrt{7} < x < 3 + \sqrt{7}$$