解説

方針・初手

2つの2次方程式が共通の解 $\alpha$ をもつという条件から、それぞれの方程式に $x = \alpha$ を代入し、$\alpha$ と $k$ に関する連立方程式を立てる。連立方程式から $k\alpha$ の項を消去することで、$\alpha$ の値を求めることができる。$\alpha$ と $k$ が求まれば、それぞれの2次方程式を解いて $\beta, \gamma$ を求め、新たな2次方程式を作成する。最後は、2次不等式が常に成り立つ条件（判別式）を利用する。

解法1

2次方程式 $2x^2 + kx - 20 = 0$ と $x^2 + kx - 4 = 0$ が共通の解 $\alpha$ をもつので、これらを代入して以下の2式を得る。

$$ 2\alpha^2 + k\alpha - 20 = 0 \quad \cdots (1) $$

$$ \alpha^2 + k\alpha - 4 = 0 \quad \cdots (2) $$

$(1) - (2)$ より、$k\alpha$ の項を消去すると、

$$ \alpha^2 - 16 = 0 $$

これより、$\alpha^2 = 16$ となる。問題の条件より共通の解 $\alpha$ は正であるから、$\alpha = 4$ である。

$\alpha = 4$ を $(2)$ に代入すると、

$$ 16 + 4k - 4 = 0 $$

これを解いて、$k = -3$ を得る。

次に、$\beta, \gamma$ の値を求める。 元の1つ目の2次方程式に $k = -3$ を代入すると、

$$ 2x^2 - 3x - 20 = 0 $$

$$ (x - 4)(2x + 5) = 0 $$

これより $x = 4, -\frac{5}{2}$ となり、$\alpha = 4$ であるから、$\beta = -\frac{5}{2}$ である。

もう一つの2次方程式に $k = -3$ を代入すると、

$$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$

$$ (x - 4)(x + 1) = 0 $$

これより $x = 4, -1$ となり、$\alpha = 4$ であるから、$\gamma = -1$ である。

$\beta, \gamma$ を解にもつ2次方程式は、

$$ \left(x + \frac{5}{2}\right)(x + 1) = 0 $$

$$ x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{5}{2} = 0 $$

両辺を2倍して整理すると、

$$ 2x^2 + 7x + 5 = 0 $$

問題文の形式 $[\text{ウ}]x^2 + 7x + [\text{エ}] = 0$ と比較すると、$[\text{ウ}] = 2$、$[\text{エ}] = 5$ となる。

最後に、2次不等式 $[\text{ウ}]x^2 + ax + [\text{エ}] > 0$ すなわち $2x^2 + ax + 5 > 0$ の解がすべての実数となるような定数 $a$ の値の範囲を求める。 関数 $y = 2x^2 + ax + 5$ のグラフは下に凸な放物線である。この不等式がすべての実数 $x$ で成り立つためには、放物線が $x$ 軸と共有点をもたない、すなわち $2x^2 + ax + 5 = 0$ の判別式を $D$ としたとき、$D < 0$ となればよい。

$$ D = a^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 < 0 $$

$$ a^2 - 40 < 0 $$

これを解いて、求める定数 $a$ の値の範囲は

$$ -2\sqrt{10} < a < 2\sqrt{10} $$

となる。

解説

共通解をもつ方程式の問題における定石通り、共通解を $\alpha$ と置いて代入し、連立方程式を解くアプローチが基本である。本問では最高次の係数に未知数を含まないため、$x^2$ の項を消去することもできるが、$k\alpha$ の項を消去した方が $\alpha$ だけの2次方程式となり手早く解ける。後半の「2次不等式の解がすべての実数」となる条件は、グラフの形状（下に凸）と $x$ 軸との位置関係（共有点をもたない $\iff D < 0$）を関連付けて理解しておくことが重要である。

答え

[ア] 4

[イ] -3

[ウ] 2

[エ] 5

[オ] $-2\sqrt{10} < a < 2\sqrt{10}$