解説

方針・初手

与えられた方程式を満たす実数 $(x, y)$ の組が存在することが前提である。そこで、与式を $y$ についての2次方程式とみなし、ある実数 $x$ に対して対応する実数 $y$ が存在するための条件、すなわち「判別式 $D \ge 0$」を考えるのが最も簡明な方針である。

解法1

与えられた方程式を $y$ について降べきの順に整理する。

$$ 3y^2 + (4x + 5)y + (2x^2 + 4x - 4) = 0 $$

座標平面上の点 $(x, y)$ が存在するためには、ある実数 $x$ に対してこの $y$ の2次方程式が実数解をもたなければならない。 この2次方程式の判別式を $D$ とすると、実数解をもつ条件は $D \ge 0$ である。

$$ D = (4x + 5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2x^2 + 4x - 4) \ge 0 $$

これを展開して整理する。

$$ 16x^2 + 40x + 25 - 12(2x^2 + 4x - 4) \ge 0 $$

$$ 16x^2 + 40x + 25 - 24x^2 - 48x + 48 \ge 0 $$

$$ -8x^2 - 8x + 73 \ge 0 $$

両辺に $-1$ を掛けて、不等号の向きを反転させる。

$$ 8x^2 + 8x - 73 \le 0 $$

ここで、2次方程式 $8x^2 + 8x - 73 = 0$ の解を求める。

$$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 8 \cdot (-73)}}{8} $$

$$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 584}}{8} $$

$$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{600}}{8} $$

$$ x = \frac{-4 \pm 10\sqrt{6}}{8} $$

$$ x = \frac{-2 \pm 5\sqrt{6}}{4} $$

したがって、不等式 $8x^2 + 8x - 73 \le 0$ を満たす $x$ の範囲は以下のようになる。

$$ \frac{-2 - 5\sqrt{6}}{4} \le x \le \frac{-2 + 5\sqrt{6}}{4} $$

これが $x$ のとりうる値の範囲であるため、$x$ が最大となる値は $\frac{-2 + 5\sqrt{6}}{4}$ である。

解説

2変数の2次方程式において、一方の変数の最大値・最小値やとりうる値の範囲を求める問題では、「他方の変数についての2次方程式とみて実数解条件（判別式）を用いる」のが定石中の定石である。 図形的には、与えられた方程式は斜めに傾いた楕円を表しており、その図形上の点で $x$ 座標が最大となる箇所（最も右側の点）を求めていることに相当する。 数IIIの陰関数の微分を用いて接線の傾きが $y$ 軸に平行（$\frac{dx}{dy} = 0$）となる点を求める方針でも解けるが、判別式を用いた方が計算が単純であり、論理的にも簡潔にまとまる。

答え

$$ \frac{-2 + 5\sqrt{6}}{4} $$