解説

方針・初手

与えられた方程式は $x$ と $y$ の2変数2次方程式である。実数 $x$ が存在するという条件から、$x$ についての2次方程式とみなして判別式を利用し、$y$ のとりうる値の範囲を絞り込む。 (1) で $y$ の範囲を求め、(2) ではその範囲内にある「整数 $y$」を拾い上げることで、調べるべき候補を有限個に限定する。

解法1

**(1)**

与えられた方程式を $x$ について整理すると、

$$ 3x^2 - 2(y + 2)x + 2y^2 + 5y + 2 = 0 $$

となる。 実数 $x$ が存在するためには、この $x$ についての2次方程式が実数解をもつことが必要十分である。 この方程式の判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ が成り立つから、

$$ \frac{D}{4} = \{-(y + 2)\}^2 - 3(2y^2 + 5y + 2) \ge 0 $$

$$ (y^2 + 4y + 4) - (6y^2 + 15y + 6) \ge 0 $$

$$ -5y^2 - 11y - 2 \ge 0 $$

両辺に $-1$ を掛けて、

$$ 5y^2 + 11y + 2 \le 0 $$

$$ (5y + 1)(y + 2) \le 0 $$

これを解いて、求める $y$ の範囲は、

$$ -2 \le y \le -\frac{1}{5} $$

**(2)**

$y$ は整数であるから、(1) で求めた範囲を満たす整数 $y$ は、

$$ y = -2, -1 $$

に限られる。それぞれの場合について、整数 $x$ が存在するかを調べる。

**(i)** $y = -2$ のとき

方程式 $3x^2 - 2(y + 2)x + 2y^2 + 5y + 2 = 0$ に代入すると、

$$ 3x^2 - 2(-2 + 2)x + 2(-2)^2 + 5(-2) + 2 = 0 $$

$$ 3x^2 - 0 \cdot x + 8 - 10 + 2 = 0 $$

$$ 3x^2 = 0 $$

$$ x = 0 $$

これは整数であるから、条件を満たす。

**(ii)** $y = -1$ のとき

同様に方程式に代入すると、

$$ 3x^2 - 2(-1 + 2)x + 2(-1)^2 + 5(-1) + 2 = 0 $$

$$ 3x^2 - 2x + 2 - 5 + 2 = 0 $$

$$ 3x^2 - 2x - 1 = 0 $$

左辺を因数分解して、

$$ (3x + 1)(x - 1) = 0 $$

$$ x = -\frac{1}{3}, 1 $$

$x$ は整数であるから、$x = 1$ が適する。

**(i)**, **(ii)** より、求める整数の組 $(x, y)$ は $(0, -2)$ と $(1, -1)$ である。

解説

2変数2次方程式において「実数解をもつ」という条件から判別式を用いて他方の文字の変域を絞り込む手法は、数学の典型的なアプローチである。本問のように「整数解」を求める問題であっても、まずは「実数解」の存在条件を考えて文字の範囲を限定することで、しらみつぶしに調べる手間をなくすことができる。整数問題における「不等式を作って絞り込む」という重要な方針を学ぶのに適した標準的な問題である。

答え

(1)

$-2 \le y \le -\frac{1}{5}$

(2)

$(x, y) = (0, -2)$

$(x, y) = (1, -1)$