解説

方針・初手

与えられた2次方程式が常に実数解を持つことを判別式により確認する。 「2つの解の絶対値がともに1より大きい」という条件は、「2つの実数解がともに $x < -1$ または $1 < x$ の範囲にある」と言い換えられる。 2次関数のグラフの配置（解の配置）を考える方法と、解と係数の関係を用いて対称式の条件に帰着させる方法がある。ここでは両方の解法を示す。

解法1

2次方程式 $x^2 + 2ax - a - 2 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = a^2 - 1 \cdot (-a - 2) = a^2 + a + 2 = \left( a + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{4} $$

となる。任意の実数 $a$ に対して $D > 0$ であるため、この2次方程式は常に異なる2つの実数解を持つ。

$f(x) = x^2 + 2ax - a - 2$ とおくと、$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸は直線 $x = -a$ である。 方程式 $f(x) = 0$ の2つの解の絶対値がともに1より大きいということは、2つの解がともに $x < -1$ または $1 < x$ の範囲に存在することである。 条件を満たすのは、以下の3つの場合のいずれかである。

**(i)** 2つの解がともに $x < -1$ の範囲にある場合

グラフの軸が $x < -1$ にあり、かつ $f(-1) > 0$ となればよい。 軸の条件より、

$$ -a < -1 \iff a > 1 $$

$f(-1) > 0$ の条件より、

$$ f(-1) = 1 - 2a - a - 2 = -3a - 1 > 0 \iff a < -\frac{1}{3} $$

これらを同時に満たす実数 $a$ は存在しない。

**(ii)** 2つの解がともに $1 < x$ の範囲にある場合

グラフの軸が $1 < x$ にあり、かつ $f(1) > 0$ となればよい。 軸の条件より、

$$ -a > 1 \iff a < -1 $$

$f(1) > 0$ の条件より、

$$ f(1) = 1 + 2a - a - 2 = a - 1 > 0 \iff a > 1 $$

これらを同時に満たす実数 $a$ は存在しない。

**(iii)** 1つの解が $x < -1$ の範囲にあり、もう1つの解が $1 < x$ の範囲にある場合

区間 $[-1, 1]$ においてグラフが $x$ 軸の下側にあればよい。 下に凸の放物線であるから、$f(-1) < 0$ かつ $f(1) < 0$ が条件となる。

$$ f(-1) = -3a - 1 < 0 \iff a > -\frac{1}{3} $$

$$ f(1) = a - 1 < 0 \iff a < 1 $$

これらを同時に満たして、

$$ -\frac{1}{3} < a < 1 $$

**(i)**、**(ii)**、**(iii)**より、求める $a$ の範囲は

$$ -\frac{1}{3} < a < 1 $$

解法2

2次方程式 $x^2 + 2ax - a - 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。 解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = -2a $$

$$ \alpha\beta = -a - 2 $$

条件は $|\alpha| > 1$ かつ $|\beta| > 1$ であり、これは次と同値である。

$$ \begin{cases} |\alpha|^2 > 1 \\ |\beta|^2 > 1 \end{cases} $$

すなわち、$\alpha^2 - 1 > 0$ かつ $\beta^2 - 1 > 0$ である。 実数 $X, Y$ について「$X > 0$ かつ $Y > 0$」は「$X + Y > 0$ かつ $XY > 0$」と同値であるから、$X = \alpha^2 - 1, Y = \beta^2 - 1$ とおくと、以下の2条件を同時に満たせばよい。

**(1)** $(\alpha^2 - 1) + (\beta^2 - 1) > 0$

**(2)** $(\alpha^2 - 1)(\beta^2 - 1) > 0$

まず**(1)**について考える。

$$ \alpha^2 + \beta^2 - 2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta - 2 $$

これに解と係数の関係を代入すると、

$$ (-2a)^2 - 2(-a - 2) - 2 = 4a^2 + 2a + 2 = 2\left( a + \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{15}{8} $$

これは任意の実数 $a$ について常に正となるため、条件**(1)**は常に満たされる。

次に**(2)**について考える。

$$ (\alpha^2 - 1)(\beta^2 - 1) = (\alpha\beta)^2 - (\alpha^2 + \beta^2) + 1 $$

$(\alpha^2 + \beta^2)$ に先ほど計算した $4a^2 + 2a + 4$ を代入し、さらに $\alpha\beta = -a - 2$ を代入すると、

$$ (-a - 2)^2 - (4a^2 + 2a + 4) + 1 = (a^2 + 4a + 4) - 4a^2 - 2a - 3 = -3a^2 + 2a + 1 $$

したがって、条件**(2)**は

$$ -3a^2 + 2a + 1 > 0 \iff 3a^2 - 2a - 1 < 0 $$

左辺を因数分解して、

$$ (3a + 1)(a - 1) < 0 $$

これを解いて、

$$ -\frac{1}{3} < a < 1 $$

（注：解法1で確認したように判別式は常に正であるため、$\alpha, \beta$ は常に実数であり、$|\alpha| > 1$ は実数の絶対値として扱える。）

解説

2次方程式の解の配置問題である。グラフを利用する「解法1」が王道の手法であるが、「解の絶対値が1より大きい」という条件を「2解がともに区間 $[-1, 1]$ の外側にある」と言い換える際に、考えられるパターンを漏れなく検討することが重要である。 本問では、結果的に「1つの解が $x < -1$、もう1つの解が $1 < x$」というパターンしか存在しないことがわかる。

「解法2」は同値変形によって代数的に処理する手法であり、グラフの形状による場合分けを回避できるため非常に強力である。ただし、「$\alpha^2 - 1 > 0$ かつ $\beta^2 - 1 > 0$」を「和が正かつ積が正」に正しく言い換えるスキルと、正確な計算力が求められる。

答え

$-\frac{1}{3} < a < 1$