解説

方針・初手

与えられた2次方程式の解の配置問題である。方程式 $3x^2 - (a^2+1)x + 4a - b - 2 = 0$ の左辺を $f(x)$ とおく。放物線 $y = f(x)$ は下に凸であり、このグラフと $x$ 軸が $0 < x < 1$ の範囲と $1 < x < 2$ の範囲でそれぞれ1つずつ交点を持つ条件を考えればよい。特定の区間に解を持つ条件は、区間の端点における関数値の符号に着目して立式するのが基本方針である。

解法1

$f(x) = 3x^2 - (a^2+1)x + 4a - b - 2$ とおく。 $y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線である。

2次方程式 $f(x) = 0$ が $0 < \alpha < 1 < \beta < 2$ を満たす2つの解 $\alpha, \beta$ を持つための条件は、放物線 $y = f(x)$ が $0 < x < 1$ および $1 < x < 2$ の範囲でそれぞれ $x$ 軸と交わることである。 これは、放物線が下に凸であることから、以下の3つの条件が同時に成り立つことと同値である。

$$ \begin{cases} f(0) > 0 \\ f(1) < 0 \\ f(2) > 0 \end{cases} $$

それぞれの不等式を整理する。

**条件1: $f(0) > 0$**

$$ 4a - b - 2 > 0 $$

これを $b$ について解くと、

$$ b < 4a - 2 \quad \cdots \text{①} $$

**条件2: $f(1) < 0$**

$$ 3\cdot 1^2 - (a^2+1)\cdot 1 + 4a - b - 2 < 0 $$

$$ -a^2 + 4a - b < 0 $$

これを $b$ について解くと、

$$ b > -a^2 + 4a \quad \cdots \text{②} $$

**条件3: $f(2) > 0$**

$$ 3\cdot 2^2 - (a^2+1)\cdot 2 + 4a - b - 2 > 0 $$

$$ 12 - 2a^2 - 2 + 4a - b - 2 > 0 $$

$$ -2a^2 + 4a - b + 8 > 0 $$

これを $b$ について解くと、

$$ b < -2a^2 + 4a + 8 \quad \cdots \text{③} $$

また、問題の条件から以下が成り立つ。

$$ a > 0, b > 0 \quad \cdots \text{④} $$

求める領域は、不等式①、②、③、④をすべて満たす点 $(a, b)$ の集合である。 領域の境界線となるのは以下の2つの放物線と1つの直線である。

• 放物線 $C_1$: $b = -a^2 + 4a = -(a-2)^2 + 4$
• 放物線 $C_2$: $b = -2a^2 + 4a + 8 = -2(a-1)^2 + 10$
• 直線 $l$: $b = 4a - 2$

境界線の交点のうち、領域の頂点となるものを求める。

$C_1$ と $l$ の交点: $-a^2 + 4a = 4a - 2$ より $a^2 = 2$ である。 $a > 0$ より $a = \sqrt{2}$ となり、このとき $b = 4\sqrt{2} - 2$ である。

$C_2$ と $l$ の交点: $-2a^2 + 4a + 8 = 4a - 2$ より $2a^2 = 10$ である。 $a > 0$ より $a = \sqrt{5}$ となり、このとき $b = 4\sqrt{5} - 2$ である。

$C_1$ と $C_2$ の交点: $-a^2 + 4a = -2a^2 + 4a + 8$ より $a^2 = 8$ である。 $a > 0$ より $a = 2\sqrt{2}$ となり、このとき $b = -(2\sqrt{2})^2 + 4(2\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} - 8$ である。

点 $(a,b)$ の存在領域は、$C_1$ の上側、かつ $l$ の下側、かつ $C_2$ の下側である。 境界となる交点の $a$ 座標の大小関係は $\sqrt{2} < \sqrt{5} < 2\sqrt{2}$ であり、この範囲において $C_1$ の $b$ 座標は正（最小値でも $8\sqrt{2}-8 > 0$）であるため、条件④の $b > 0$ は常に満たされる。

解説

2次方程式の解の配置（解の存在範囲）を問う典型的な問題である。「$0$ と $1$ の間に解を持つ」、「$1$ と $2$ の間に解を持つ」というように、解を挟み込むような条件がある場合は、端点の $y$ 座標の符号を調べるだけで十分条件となる。本問では $f(1) < 0$ という条件がこれに該当し、この条件があるおかげで「判別式 $D > 0$」や「軸の位置」の条件を別途考慮する必要がなく、計算量を減らすことができる。 複数の放物線や直線の位置関係を調べる際は、正確に交点を求めて上下関係を把握することが重要である。

答え

点 $(a,b)$ の存在領域は、以下の連立不等式が表す領域である。

$$ \begin{cases} b > -a^2 + 4a \\ b < 4a - 2 \\ b < -2a^2 + 4a + 8 \\ a > 0 \\ b > 0 \end{cases} $$

図示した場合の領域の形状は以下の通りである。

横軸を $a$ 軸、縦軸を $b$ 軸とする。

領域の下側の境界は、放物線 $b = -a^2 + 4a$ の $\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$ の部分である。

領域の上側の境界は、$a$ の範囲によって切り替わり、以下のようになる。

$\sqrt{2} < a \leqq \sqrt{5}$ の部分は、直線 $b = 4a - 2$

$\sqrt{5} < a < 2\sqrt{2}$ の部分は、放物線 $b = -2a^2 + 4a + 8$

領域を囲む頂点は $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2}-2)$, $(\sqrt{5}, 4\sqrt{5}-2)$, $(2\sqrt{2}, 8\sqrt{2}-8)$ である。

境界線上の点はすべて領域に含まれない。