解説

方針・初手

• (1)は与えられた2次方程式に $a=1$ を代入し、解の公式を用いて解を求める。
• (2)は2次方程式の解の配置問題として考える。関数 $f(x) = ax^2 - x + 2a - 3$ とおき、$y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $-1 \leqq x \leqq 2$ の部分と少なくとも1つの共有点をもつための条件を求める。問題文に「2次方程式」と明記されているため、$a \neq 0$ であることに注意する。

解法1

**(1)** 与えられた方程式に $a=1$ を代入すると、

$$x^2 - x - 1 = 0$$

となる。解の公式より、

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

**(2)** $f(x) = ax^2 - x + 2a - 3$ とおく。 問題文に2次方程式とあるため、$a \neq 0$ である。 $f(x) = 0$ が $-1 \leqq x \leqq 2$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ条件は、放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸の $-1 \leqq x \leqq 2$ の部分と少なくとも1つの共有点をもつことである。 $f(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$D = (-1)^2 - 4a(2a - 3) = -8a^2 + 12a + 1$$

また、放物線の軸は直線 $x = \frac{1}{2a}$ であり、区間の端点における値は以下のようになる。

$$\begin{aligned} f(-1) &= a(-1)^2 - (-1) + 2a - 3 = 3a - 2 \\ f(2) &= a(2)^2 - 2 + 2a - 3 = 6a - 5 \end{aligned}$$

**[1] $a > 0$ のとき（グラフは下に凸）**

**(i)** $-1 \leqq x \leqq 2$ の範囲に2つの共有点（接する場合を含む）をもつ条件 以下の3つの条件をすべて満たすことである。

$$\begin{cases} D \geqq 0 \\ -1 \leqq \frac{1}{2a} \leqq 2 \\ f(-1) \geqq 0 \text{ かつ } f(2) \geqq 0 \end{cases}$$

$D \geqq 0$ より $8a^2 - 12a - 1 \leqq 0$ であるから、

$$\frac{3 - \sqrt{11}}{4} \leqq a \leqq \frac{3 + \sqrt{11}}{4}$$

$a > 0$ より $\frac{1}{2a} > 0$ であるから、軸の条件は $\frac{1}{2a} \leqq 2$ となり、

$$a \geqq \frac{1}{4}$$

端点の条件は $3a - 2 \geqq 0$ かつ $6a - 5 \geqq 0$ より、

$$a \geqq \frac{2}{3} \text{ かつ } a \geqq \frac{5}{6}$$

これらをすべて満たす共通範囲を求めると、

$$\frac{5}{6} \leqq a \leqq \frac{3 + \sqrt{11}}{4}$$

**(ii)** $-1 \leqq x \leqq 2$ の範囲にただ1つの共有点をもつ条件 区間の端点で関数値の符号が変わればよいので、$f(-1)f(2) < 0$ が成り立つときである。

$$(3a - 2)(6a - 5) < 0$$

これを解いて、

$$\frac{2}{3} < a < \frac{5}{6}$$

また、端点で交わる場合を調べる。 $f(-1) = 0$ すなわち $a = \frac{2}{3}$ のとき、$f(x) = \frac{2}{3}x^2 - x - \frac{5}{3} = 0$ となり、これを解くと $x = -1, \frac{5}{2}$ を得る。区間内には $x = -1$ のただ1つをもつため、$a = \frac{2}{3}$ は条件を満たす。 $f(2) = 0$ すなわち $a = \frac{5}{6}$ のとき、$f(x) = \frac{5}{6}x^2 - x - \frac{4}{3} = 0$ となり、これを解くと $x = 2, -\frac{4}{5}$ を得る。2つの解がともに区間内に含まれるため、これは (i) の場合に該当する。 したがって、(ii) を満たす範囲は、

$$\frac{2}{3} \leqq a < \frac{5}{6}$$

(i) と (ii) を合わせると、$a > 0$ における求める範囲は、

$$\frac{2}{3} \leqq a \leqq \frac{3 + \sqrt{11}}{4}$$

**[2] $a < 0$ のとき（グラフは上に凸）**

$a < 0$ のとき、軸 $x = \frac{1}{2a}$ は負となる。 区間内に2つの共有点をもつには、軸が $-1 \leqq \frac{1}{2a} \leqq 2$ すなわち $a \leqq -\frac{1}{2}$ を満たし、かつ $D \geqq 0$ より $\frac{3 - \sqrt{11}}{4} \leqq a \leqq \frac{3 + \sqrt{11}}{4}$ を満たす必要がある。しかし、$\frac{3 - \sqrt{11}}{4} \approx -0.079$ であるため、これらを同時に満たす実数 $a$ は存在しない。 また、区間内にただ1つの共有点をもつ条件 $f(-1)f(2) < 0$ についても、前述の通り $a > \frac{2}{3}$ となり、$a < 0$ に矛盾する。 よって、$a < 0$ のとき条件を満たす $a$ は存在しない。

以上より、求める $a$ の値の範囲は、

$$\frac{2}{3} \leqq a \leqq \frac{3 + \sqrt{11}}{4}$$

解法2

**(2)の別解（定数分離）** 与えられた方程式を $a$ について整理する。

$$\begin{aligned} ax^2 - x + 2a - 3 &= 0 \\ a(x^2 + 2) &= x + 3 \end{aligned}$$

すべての実数 $x$ において $x^2 + 2 > 0$ であるから、両辺を $x^2 + 2$ で割ることができる。

$$a = \frac{x + 3}{x^2 + 2}$$

方程式が $-1 \leqq x \leqq 2$ の範囲に少なくとも1つの解をもつ条件は、関数 $g(x) = \frac{x + 3}{x^2 + 2}$ の $-1 \leqq x \leqq 2$ における値域に定数 $a$ が含まれることである。 $g(x)$ を $x$ について微分すると、

$$g'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 2) - (x + 3) \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-x^2 - 6x + 2}{(x^2 + 2)^2}$$

$g'(x) = 0$ とすると、分子が $0$ になるため、

$$x^2 + 6x - 2 = 0$$

これを解いて、$x = -3 \pm \sqrt{11}$ を得る。 $3 < \sqrt{11} < 4$ であるから、$-1 \leqq x \leqq 2$ の範囲に含まれるのは $x = -3 + \sqrt{11}$ のみである。 区間の端点および極値をとる $x$ における $g(x)$ の値を調べる。

$$\begin{aligned} g(-1) &= \frac{-1 + 3}{(-1)^2 + 2} = \frac{2}{3} \\ g(2) &= \frac{2 + 3}{2^2 + 2} = \frac{5}{6} \end{aligned}$$

$x = -3 + \sqrt{11}$ のとき、$x^2 + 6x - 2 = 0$ より $x^2 + 2 = -6x + 4$ であるから、

$$g(-3 + \sqrt{11}) = \frac{(-3 + \sqrt{11}) + 3}{-6(-3 + \sqrt{11}) + 4} = \frac{\sqrt{11}}{22 - 6\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11}(22 + 6\sqrt{11})}{484 - 396} = \frac{22\sqrt{11} + 66}{88} = \frac{3 + \sqrt{11}}{4}$$

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6} < \frac{5}{6}$ であり、増減を考慮すると $g(x)$ は $x = -1$ で最小値 $\frac{2}{3}$、$x = -3 + \sqrt{11}$ で最大値 $\frac{3 + \sqrt{11}}{4}$ をとることがわかる。 したがって、求める $a$ の値の範囲は、

$$\frac{2}{3} \leqq a \leqq \frac{3 + \sqrt{11}}{4}$$

解説

• 本問の(2)は、2次方程式の実数解の存在範囲（解の配置）を問う典型的な問題である。グラフの「判別式」「軸の位置」「端点での値の符号」の3点に着目し、丁寧に場合分けを行うことが基本方針となる。
• 場合分けにおいては、「2つの解がともに区間内にある場合」と「1つの解のみが区間内にある場合」を分け、さらに端点で交わるケースの確認を怠らないようにしたい。
• 解法2で示した「定数分離」は、方程式を $a = g(x)$ の形に変形し、グラフの共有点に帰着させる強力な手法である。本問のように $a$ が1次式としてくくり出せる場合は、数学IIIの微分の知識（商の微分法）を用いることで、複雑な場合分けを回避して視覚的に処理できる。

答え

(1) $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

(2) $\frac{2}{3} \leqq a \leqq \frac{3 + \sqrt{11}}{4}$