解説

方針・初手

関数 $f(x) = (x-a)^2+b$ とおき、$y=f(x)$ のグラフに関する2つの条件をそれぞれ定式化する。 $x$ 軸との共有点の条件は、方程式 $f(x) = 0$ が $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことと同値である。これは、区間 $[-1, 1]$ における $f(x)$ の最大値と最小値の符号を調べることで簡潔に処理できる。 $y$ 軸との共有点の条件は、$y$ 軸との交点の $y$ 座標が $f(0)$ であることから、単なる不等式に帰着される。

解法1

$$ f(x) = (x-a)^2+b $$

とおく。放物線 $C: y=f(x)$ が $x$ 軸と $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲で共有点をもつための条件は、区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ としたとき、

$$ m \leqq 0 \leqq M \quad \cdots \text{①} $$

が成り立つことである。

また、$C$ が $y$ 軸と $y \leqq 1$ の範囲で共有点をもつための条件は、$y$ 軸との交点の座標が $(0, f(0))$ であることから、

$$ f(0) \leqq 1 \iff a^2+b \leqq 1 \iff b \leqq -a^2+1 \quad \cdots \text{②} $$

である。求める $(a,b)$ の条件は、①および②を同時に満たすことである。 区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ における最大値 $M$ と最小値 $m$ は、軸 $x=a$ の位置によって以下のように場合分けされる。

**(i) $a < -1$ のとき**

区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において $f(x)$ は単調増加するので、

$$ m = f(-1) = (a+1)^2+b, \quad M = f(1) = (a-1)^2+b $$

①より、$(a+1)^2+b \leqq 0$ かつ $(a-1)^2+b \geqq 0$ となるため、

$$ -(a-1)^2 \leqq b \leqq -(a+1)^2 $$

これと②の共通部分を考える。$a < -1$ のとき、

$$ (-a^2+1) - \{-(a+1)^2\} = 2a+2 < 0 $$

より $-a^2+1 < -(a+1)^2$ となるため、上限は②の条件がより厳しくなる。また、

$$ (-a^2+1) - \{-(a-1)^2\} = -2a+2 > 4 > 0 $$

より下限との共通部分は存在し、条件は以下のようになる。

$$ -(a-1)^2 \leqq b \leqq -a^2+1 $$

**(ii) $-1 \leqq a \leqq 0$ のとき**

頂点が区間内にあり、区間の右端の方が頂点より遠いため、

$$ m = f(a) = b, \quad M = f(1) = (a-1)^2+b $$

①より、$b \leqq 0$ かつ $(a-1)^2+b \geqq 0$ となるため、

$$ -(a-1)^2 \leqq b \leqq 0 $$

これと②を同時に満たす条件を考える。$-1 \leqq a \leqq 0$ においては $-a^2+1 \geqq 0$ であるから、$b \leqq 0$ を満たすならば自動的に②（$b \leqq -a^2+1$）も満たされる。よって条件は以下の通り。

$$ -(a-1)^2 \leqq b \leqq 0 $$

**(iii) $0 < a \leqq 1$ のとき**

頂点が区間内にあり、区間の左端の方が頂点より遠いため、

$$ m = f(a) = b, \quad M = f(-1) = (a+1)^2+b $$

①より、$b \leqq 0$ かつ $(a+1)^2+b \geqq 0$ となるため、

$$ -(a+1)^2 \leqq b \leqq 0 $$

$-1 \leqq a \leqq 0$ のときと同様に、$0 < a \leqq 1$ においては $-a^2+1 \geqq 0$ であるから、この領域の点はすべて②を満たす。よって条件は以下の通り。

$$ -(a+1)^2 \leqq b \leqq 0 $$

**(iv) $a > 1$ のとき**

区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において $f(x)$ は単調減少するので、

$$ m = f(1) = (a-1)^2+b, \quad M = f(-1) = (a+1)^2+b $$

①より、$(a-1)^2+b \leqq 0$ かつ $(a+1)^2+b \geqq 0$ となるため、

$$ -(a+1)^2 \leqq b \leqq -(a-1)^2 $$

これと②の共通部分を考える。$a > 1$ のとき、

$$ (-a^2+1) - \{-(a-1)^2\} = -2a+2 < 0 $$

より $-a^2+1 < -(a-1)^2$ となるため、上限は②の条件がより厳しくなる。下限については $-(a+1)^2 < -a^2+1$ が成り立つため、条件は以下のようになる。

$$ -(a+1)^2 \leqq b \leqq -a^2+1 $$

以上より、求める $(a,b)$ の存在範囲が定まる。

解法2

$x$ 軸との共有点の条件を、2次方程式の解の配置問題として考える。 $f(x) = (x-a)^2+b$ とおく。方程式 $f(x) = 0$ が $-1 \leqq x \leqq 1$ に少なくとも1つの実数解をもつのは、以下の **(A)** または **(B)** のいずれかが成り立つときである。

**(A)** $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲にただ1つの実数解をもつ場合 これは $f(-1)f(1) \leqq 0$ と同値である。

$$ \{(a+1)^2+b\}\{(a-1)^2+b\} \leqq 0 $$

これを解くと、$a$ の符号によって次のように分かれる。 $a < 0$ のとき： $-(a-1)^2 \leqq b \leqq -(a+1)^2$ $a \geqq 0$ のとき： $-(a+1)^2 \leqq b \leqq -(a-1)^2$

**(B)** $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲に2つの実数解（重解を含む）をもつ場合 判別式条件、軸条件、端点条件から以下の連立不等式を得る。

$$ \begin{cases} b \leqq 0 \\ -1 \leqq a \leqq 1 \\ f(-1) \geqq 0 \iff b \geqq -(a+1)^2 \\ f(1) \geqq 0 \iff b \geqq -(a-1)^2 \end{cases} $$

これを整理すると、 $-1 \leqq a \leqq 0$ のとき： $-(a-1)^2 \leqq b \leqq 0$ $0 < a \leqq 1$ のとき： $-(a+1)^2 \leqq b \leqq 0$ となる。

**(A)** と **(B)** の和集合が、$C$ が $x$ 軸と $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲で共有点をもつ条件である。 これと、$y$ 軸に関する条件 $b \leqq -a^2+1$ との共通部分を求めることで、解法1と全く同じ領域が得られる。

解説

「区間内に共有点をもつ」という条件をどう数式化するかが問われる標準的な問題である。 解法2のように「解の配置」として定式化するのが王道であるが、解が1つの場合と2つの場合で条件が分かれるため記述がやや長くなる。本問のように「少なくとも1つ交わればよい」という場合は、解法1のように「区間内の最大値・最小値の符号」に注目すると、1つの不等式 $m \leqq 0 \leqq M$ で簡潔に表現でき、見通しが良くなる。

境界線の接続について補足すると、 上側の境界は $b = -a^2+1$ と $b = 0$ が点 $(\pm 1, 0)$ で接続され、 下側の境界は $b = -(a-1)^2$ と $b = -(a+1)^2$ が点 $(0, -1)$ で尖るように接続される。

答え

点 $(a,b)$ の存在範囲は、以下の不等式を満たす領域である。

$$ \begin{cases} -(a-1)^2 \leqq b \leqq -a^2+1 & (a < -1 \text{ のとき}) \\ -(a-1)^2 \leqq b \leqq 0 & (-1 \leqq a \leqq 0 \text{ のとき}) \\ -(a+1)^2 \leqq b \leqq 0 & (0 < a \leqq 1 \text{ のとき}) \\ -(a+1)^2 \leqq b \leqq -a^2+1 & (a > 1 \text{ のとき}) \end{cases} $$

これを図示すると、下図の境界線を含む斜線部分となる。

（図は省略するが、以下の曲線で囲まれた領域である）

上側の境界：$a \leqq -1$ および $a \geqq 1$ の部分は放物線 $b = -a^2+1$、$-1 \leqq a \leqq 1$ の部分は直線 $b = 0$

下側の境界：$a \leqq 0$ の部分は放物線 $b = -(a-1)^2$、$a \geqq 0$ の部分は放物線 $b = -(a+1)^2$