解説

方針・初手

(1) は、2次方程式の解の配置問題における典型的な設定である。関数 $f(x) = x^2 - px + q$ を考え、放物線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標が $a \le x \le b$ の範囲に2つ（重解を含む）存在する条件を求める。判別式、軸の位置、区間の両端点における $y$ 座標の符号、の3つの観点から条件を立式する。 (2) は、(1) で得られた不等式を $pq$ 座標平面上の領域と捉え、その面積を求める。(1) の不等式のうち1次不等式は、放物線を表す2次不等式の境界曲線の接線になっていることに着目すると、積分の計算が見通しよく行える。

解法1

**(1)**

$f(x) = x^2 - px + q$ とおく。

$$ f(x) = \left( x - \frac{p}{2} \right)^2 - \frac{p^2}{4} + q $$

と平方完成できる。2次方程式 $f(x) = 0$ が $a$ 以上 $b$ 以下の実数解を2つ（重解を含む）もつための条件は、放物線 $y = f(x)$ について以下の3つが同時に成り立つことである。

**(i)** $x$ 軸と共有点をもつこと（判別式） 頂点の $y$ 座標が $0$ 以下であればよいので、

$$

$$

• \frac{p^2}{4} + q \le 0 \iff q \le \frac{p^2}{4}

**(ii)** 軸が $a \le x \le b$ の範囲にあること

$$ a \le \frac{p}{2} \le b \iff 2a \le p \le 2b $$

**(iii)** 端点 $x = a$ および $x = b$ で $f(x) \ge 0$ となること

$$ f(a) = a^2 - ap + q \ge 0 \iff q \ge ap - a^2 $$

$$ f(b) = b^2 - bp + q \ge 0 \iff q \ge bp - b^2 $$

以上より、求める必要十分条件は以下の連立不等式で表される。

$$ \begin{cases} q \le \frac{p^2}{4} \\ 2a \le p \le 2b \\ q \ge ap - a^2 \\ q \ge bp - b^2 \end{cases} $$

**(2)**

(1) の連立不等式が表す領域 $D$ を $pq$ 平面上に図示することを考える。境界となる曲線と直線は以下の通りである。

放物線 $C$: $q = \frac{p^2}{4}$ 直線 $l_a$: $q = ap - a^2$ 直線 $l_b$: $q = bp - b^2$

ここで、放物線 $C$ 上の点 $\left( t, \frac{t^2}{4} \right)$ における接線の方程式を求める。$q$ を $p$ で微分すると $\frac{dq}{dp} = \frac{p}{2}$ となるため、接線の方程式は、

$$ q - \frac{t^2}{4} = \frac{t}{2} (p - t) \iff q = \frac{t}{2} p - \frac{t^2}{4} $$

となる。これより、直線 $l_a$ は放物線 $C$ 上の点 $(2a, a^2)$ における接線であり、直線 $l_b$ は放物線 $C$ 上の点 $(2b, b^2)$ における接線であることがわかる。

次に、直線 $l_a$ と直線 $l_b$ の交点の $p$ 座標を求める。

$$ ap - a^2 = bp - b^2 $$

$$ (b - a)p = b^2 - a^2 $$

$a < b$ より $b - a \neq 0$ であるから、両辺を $b - a$ で割ると、

$$ p = a + b $$

を得る。交点の $q$ 座標は $q = a(a + b) - a^2 = ab$ となる。 $a < b$ より $2a < a + b < 2b$ であるから、領域 $D$ は、放物線 $C$ と2接線 $l_a, l_b$ で囲まれた領域となる。

求める面積を $S$ とすると、$S$ は以下の定積分で計算できる。

$$ S = \int_{2a}^{a+b} \left\{ \frac{p^2}{4} - (ap - a^2) \right\} dp + \int_{a+b}^{2b} \left\{ \frac{p^2}{4} - (bp - b^2) \right\} dp $$

被積分関数はそれぞれ完全平方式にまとめることができる。

$$ S = \int_{2a}^{a+b} \frac{1}{4}(p - 2a)^2 dp + \int_{a+b}^{2b} \frac{1}{4}(p - 2b)^2 dp $$

$$ S = \frac{1}{4} \left[ \frac{(p - 2a)^3}{3} \right]_{2a}^{a+b} + \frac{1}{4} \left[ \frac{(p - 2b)^3}{3} \right]_{a+b}^{2b} $$

$$ S = \frac{1}{12} (a + b - 2a)^3 - 0 + 0 - \frac{1}{12} (a + b - 2b)^3 $$

$$ S = \frac{1}{12} (b - a)^3 - \frac{1}{12} (a - b)^3 $$

$(a - b)^3 = -(b - a)^3$ であるから、

$$ S = \frac{1}{12} (b - a)^3 + \frac{1}{12} (b - a)^3 = \frac{1}{6} (b - a)^3 $$

となる。

解説

2次方程式の解の配置と、積分を用いた面積計算を組み合わせた標準的な問題である。 (1) の立式は基本事項であり、ここで取りこぼすことは避けたい。「少なくとも1つ」ではなく「ともに」であるため、考えるべき状況はシンプルである。 (2) において、境界線の直線が放物線の接線になっていることに気づくことが最大のポイントである。この構造に気づけば、被積分関数が $(x - \alpha)^2$ の形にまとまり、積分計算が極めて容易になる。放物線と、その上の2点における接線で囲まれた面積は、交点の $x$ 座標が接点の $x$ 座標の中点になることや、面積の計算結果が定型化されること（いわゆる $\frac{1}{12}$ 公式）を背景知識として持っていると、計算ミスを防ぐ良い手がかりとなる。

答え

(1) $$ \begin{cases} q \le \frac{p^2}{4} \\ 2a \le p \le 2b \\ q \ge ap - a^2 \\ q \ge bp - b^2 \end{cases} $$

(2) $$ \frac{1}{6}(b - a)^3 $$