解説

方針・初手

与えられた方程式を解 $x$ の方程式として解き、そのとりうる値の範囲を調べるアプローチと、方程式を満たすようなパラメータ $s, t$ が存在するための $x$ の条件を考えるアプローチ（逆手流）の2つが考えられる。 いずれの場合も、$s, t$ の対称式である $s+t$ と $st$、あるいは和と差である $s+t$ と $s-t$ に着目して変数を減らすことが鍵となる。また、$s \ge 0, t \ge 0$ という条件からパラメータの変域が制限される点に注意する。

解法1

与えられた方程式を $x^2$ についての2次方程式とみる。

$$ (x^2)^2 - 2(s+t)x^2 + (s-t)^2 = 0 $$

解の公式より、$x^2$ を求める。

$$ x^2 = s+t \pm \sqrt{(s+t)^2 - (s-t)^2} = s+t \pm \sqrt{4st} = s+t \pm 2\sqrt{st} $$

ここで $X = x^2 \ge 0$ とし、$s+t = u, st = v$ とおく。 実数 $s, t$ は $s \ge 0, t \ge 0$ および $s^2+t^2 = 1$ を満たす。 $s^2+t^2 = (s+t)^2 - 2st = u^2 - 2v = 1$ より、$v = \frac{u^2-1}{2}$ である。 $s, t$ は $y$ についての2次方程式

$$ y^2 - uy + \frac{u^2-1}{2} = 0 $$

の2つの非負の実数解である。実数解をもつ条件（判別式 $D \ge 0$）より、

$$ D = u^2 - 4 \cdot \frac{u^2-1}{2} = 2 - u^2 \ge 0 $$

また、$s \ge 0, t \ge 0$ であるから、解と係数の関係より

$$ u \ge 0, \quad \frac{u^2-1}{2} \ge 0 $$

これらを連立して解くと、$1 \le u \le \sqrt{2}$ を得る。 このとき、$X$ は $u$ を用いて次のように表される。

$$ X = u \pm \sqrt{2(u^2-1)} $$

区間 $1 \le u \le \sqrt{2}$ における $f(u) = u + \sqrt{2u^2-2}$ と $g(u) = u - \sqrt{2u^2-2}$ の値域を調べる。 $f(u)$ について、導関数は

$$ f'(u) = 1 + \frac{2u}{\sqrt{2u^2-2}} > 0 \quad (1 < u \le \sqrt{2}) $$

よって $f(u)$ は単調増加であり、値域は $f(1) \le f(u) \le f(\sqrt{2})$ すなわち $1 \le f(u) \le 2\sqrt{2}$ となる。 一方、$g(u)$ について、導関数は

$$ g'(u) = 1 - \frac{2u}{\sqrt{2u^2-2}} = \frac{\sqrt{2u^2-2} - 2u}{\sqrt{2u^2-2}} \quad (1 < u \le \sqrt{2}) $$

ここで $\sqrt{2u^2-2} \ge 0, 2u > 0$ であり、

$$ (2u)^2 - (\sqrt{2u^2-2})^2 = 4u^2 - (2u^2 - 2) = 2u^2 + 2 > 0 $$

であるから $\sqrt{2u^2-2} < 2u$ となり、$g'(u) < 0$ である。 よって $g(u)$ は単調減少であり、値域は $g(\sqrt{2}) \le g(u) \le g(1)$ すなわち $0 \le g(u) \le 1$ となる。

以上から、$X = x^2$ のとりうる値の範囲は、これら2つの値域の和集合となる。

$$ 0 \le x^2 \le 2\sqrt{2} $$

これを解いて、求める $x$ の範囲を得る。

$$ -\sqrt{2\sqrt{2}} \le x \le \sqrt{2\sqrt{2}} $$

解法2

$s+t = u, s-t = v$ とおく。 $s \ge 0, t \ge 0$ より $s+t \ge |s-t|$ すなわち $u \ge |v| \ge 0$ である。 また条件 $s^2+t^2 = 1$ は、

$$ \frac{(s+t)^2 + (s-t)^2}{2} = 1 \iff u^2 + v^2 = 2 $$

と書き換えられる。 与えられた方程式を $u, v$ で表すと、

$$ x^4 - 2ux^2 + v^2 = 0 \iff v^2 = 2ux^2 - x^4 $$

となる。これを $u^2+v^2=2$ に代入して整理すると、$u$ についての方程式を得る。

$$ u^2 + 2ux^2 - x^4 - 2 = 0 $$

条件 $u \ge |v|$ は $u \ge 0$ かつ $u^2 \ge v^2$ と同値である。 $v^2 = 2 - u^2$ を用いると、$u^2 \ge 2 - u^2$ より $u^2 \ge 1$ となり、$u \ge 0$ と併せて $u \ge 1$ を得る。 また $v^2 \ge 0$ より $u^2 \le 2$ すなわち $u \le \sqrt{2}$ である。 したがって、$u$ の満たすべき条件は $1 \le u \le \sqrt{2}$ である。 さらに、このとき $v^2 = 2 - u^2 \ge 0$ であるため、関係式 $v^2 = 2ux^2 - x^4$ より $2ux^2 - x^4 \ge 0$ も満たされる必要がある。

問題は、方程式 $h(u) = u^2 + 2x^2 u - x^4 - 2 = 0$ を満たす実数 $u$ が $1 \le u \le \sqrt{2}$ に存在し、かつ $2ux^2 - x^4 \ge 0$ を満たすための $x$ の条件を求めることに帰着される。

関数 $y = h(u)$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸は $u = -x^2 \le 0$ である。 区間 $1 \le u \le \sqrt{2}$ において軸は常に区間の左側にあるため、$h(u)$ はこの区間で単調増加する。 したがって、$h(u) = 0$ が $1 \le u \le \sqrt{2}$ の範囲に実数解をもつための必要十分条件は、

$$ h(1) \le 0 \quad \text{かつ} \quad h(\sqrt{2}) \ge 0 $$

である。

$$ h(1) = 1 + 2x^2 - x^4 - 2 = -(x^2-1)^2 \le 0 $$

これはすべての実数 $x$ について成り立つ。

$$ h(\sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2}x^2 - x^4 - 2 = x^2(2\sqrt{2} - x^2) \ge 0 $$

これより $0 \le x^2 \le 2\sqrt{2}$ を得る。 このとき、$h(u) = 0$ から $2ux^2 - x^4 = 2 - u^2$ が成り立つ。 $1 \le u \le \sqrt{2}$ の範囲において $2 - u^2 \ge 0$ は常に満たされるため、追加条件 $2ux^2 - x^4 \ge 0$ も自動的に満たされる。

以上より、求める $x$ の範囲は

$$ -\sqrt{2\sqrt{2}} \le x \le \sqrt{2\sqrt{2}} $$

となる。

解説

多変数の関係式から特定の変数のとりうる値の範囲を求める典型的な問題である。 解法1のように、$x^2$ について解き、直接関数の値域を調べる方法が自然な発想である。和 $s+t$ と積 $st$ の対称性を利用して1変数関数に帰着させることで見通しが良くなる。 解法2のように、$s+t$ と $s-t$ を塊として扱い、条件を満たすパラメータが存在するための $x$ の条件（逆手流）として処理する方法も強力である。放物線の配置問題に帰着され、計算量を大幅に抑えることができる。 いずれの手法でも、$s \ge 0, t \ge 0$ に由来するパラメータの変域の絞り込みを漏れなく行うことが重要である。

答え

$$ -\sqrt{2\sqrt{2}} \le x \le \sqrt{2\sqrt{2}} $$