解説

方針・初手

与えられた 2 次方程式の係数に含まれる絶対値記号を外すことが第一手である。絶対値の中身は $p$ と $p+1$ であるため、$p = 0$ および $p = -1$ が場合分けの境界となる。それぞれの場合において方程式を整理し、解を直接求める方針をとる。

解法1

与えられた 2 次方程式を整理するために、$p$ の値によって場合分けを行う。

**(i)** $p < -1$ のとき

$|p| = -p$、かつ $|p+1| = -(p+1)$ である。

方程式の $x$ の係数は以下のように計算できる。

$$ -(2p - p + (p+1) + 1) = -(2p + 2) = -2(p+1) $$

定数項は以下のように計算できる。

$$ \frac{1}{2}(2p - 3p + (p+1) - 1) = 0 $$

よって、方程式は以下のようになる。

$$ x^2 - 2(p+1)x = 0 $$

これを因数分解すると以下のようになる。

$$ x \{ x - 2(p+1) \} = 0 $$

したがって、解は $x = 0, 2(p+1)$ となり、これらは実数であるため、実数解をもつ。

**(ii)** $-1 \leqq p < 0$ のとき

$|p| = -p$、かつ $|p+1| = p+1$ である。

方程式の $x$ の係数は以下のように計算できる。

$$ -(2p - p - (p+1) + 1) = 0 $$

定数項は以下のように計算できる。

$$ \frac{1}{2}(2p - 3p - (p+1) - 1) = -(p+1) $$

よって、方程式は以下のようになる。

$$ x^2 - (p+1) = 0 $$

すなわち、以下の式を得る。

$$ x^2 = p+1 $$

ここで、$-1 \leqq p < 0$ より $p+1 \geqq 0$ であるから、解は $x = \pm\sqrt{p+1}$ となり、これらは実数であるため、実数解をもつ。

**(iii)** $p \geqq 0$ のとき

$|p| = p$、かつ $|p+1| = p+1$ である。

方程式の $x$ の係数は以下のように計算できる。

$$ -(2p + p - (p+1) + 1) = -2p $$

定数項は以下のように計算できる。

$$ \frac{1}{2}(2p + 3p - (p+1) - 1) = 2p - 1 $$

よって、方程式は以下のようになる。

$$ x^2 - 2px + 2p - 1 = 0 $$

これを因数分解すると以下のようになる。

$$ (x - 1) \{ x - (2p-1) \} = 0 $$

したがって、解は $x = 1, 2p-1$ となり、これらは実数であるため、実数解をもつ。

以上 **(i)**, **(ii)**, **(iii)** より、(1) この 2 次方程式はすべての実数 $p$ について実数解をもつことが示された。

続いて (2) について考える。

**(i)** $p < -1$ のとき

方程式の解は $\alpha = 0, \beta = 2(p+1)$ （順不同）である。

異なる 2 つの実数解をもつための条件は $2(p+1) \neq 0$、すなわち $p \neq -1$ であり、これは $p < -1$ を満たす。

次に、$\alpha^2 + \beta^2 \leqq 1$ より以下の不等式を得る。

$$ 0^2 + \{ 2(p+1) \}^2 \leqq 1 $$

$$ 4(p+1)^2 \leqq 1 $$

$$ (p+1)^2 \leqq \frac{1}{4} $$

これを解くと以下のようになる。

$$ -\frac{1}{2} \leqq p+1 \leqq \frac{1}{2} $$

$$ -\frac{3}{2} \leqq p \leqq -\frac{1}{2} $$

$p < -1$ であることとあわせて、以下の範囲を得る。

$$ -\frac{3}{2} \leqq p < -1 $$

**(ii)** $-1 \leqq p < 0$ のとき

方程式の解は $\alpha = \sqrt{p+1}, \beta = -\sqrt{p+1}$ （順不同）である。

異なる 2 つの実数解をもつための条件は $\sqrt{p+1} \neq -\sqrt{p+1}$、すなわち $p+1 > 0$ より $p > -1$ である。

前提条件とあわせて、$-1 < p < 0$ となる。

次に、$\alpha^2 + \beta^2 \leqq 1$ より以下の不等式を得る。

$$ (\sqrt{p+1})^2 + (-\sqrt{p+1})^2 \leqq 1 $$

$$ (p+1) + (p+1) \leqq 1 $$

$$ 2(p+1) \leqq 1 $$

$$ p \leqq -\frac{1}{2} $$

$-1 < p < 0$ であることとあわせて、以下の範囲を得る。

$$ -1 < p \leqq -\frac{1}{2} $$

**(iii)** $p \geqq 0$ のとき

方程式の解は $\alpha = 1, \beta = 2p-1$ （順不同）である。

異なる 2 つの実数解をもつための条件は $1 \neq 2p-1$、すなわち $p \neq 1$ である。

次に、$\alpha^2 + \beta^2 \leqq 1$ より以下の不等式を得る。

$$ 1^2 + (2p-1)^2 \leqq 1 $$

$$ (2p-1)^2 \leqq 0 $$

実数の2乗は0以上であるから、これを満たすのは $2p-1 = 0$ のときのみである。

よって、$p = \frac{1}{2}$ を得る。

これは $p \geqq 0$ かつ $p \neq 1$ を満たす。

以上 **(i)**, **(ii)**, **(iii)** より、求める $p$ の値の範囲はこれらの和集合となる。

解説

絶対値記号を含む方程式や関数の問題では、絶対値の中身の正負によって場合分けをして外すのが基本である。本問では、一見複雑な係数を持つ 2 次方程式であるが、場合分けをして絶対値を外すことで、すべての場合において方程式が因数分解可能になる（または平方根によって解ける）という、解きやすい形に帰着する。解と係数の関係を用いずに、直接解を求めて $\alpha^2 + \beta^2 \leqq 1$ に代入するほうが計算の見通しが良い。

答え

(1) 題意は示された（解法に記載の通り）。

(2) $-\frac{3}{2} \leqq p < -1$

$-1 < p \leqq -\frac{1}{2}$

$p = \frac{1}{2}$