解説

方針・初手

2次関数のグラフと座標軸の交点に関する基本的な問題である。

(1)は、グラフが $y$ 軸と交わる点の $y$ 座標（ $y$ 切片）の符号に着目する。

(2)は、2次関数のグラフが $x$ 軸の特定の範囲と交わるための条件を求める「解の配置」問題である。下に凸の放物線であることを踏まえ、「判別式（または頂点の $y$ 座標）」「軸の位置」「端点における関数値の符号」の3つの条件を立式し、それらの共通範囲を求める。

解法1

$f(x) = x^2 + (4-2k)x + 2k^2 - 8k + 4$ とおく。

(1)

$C$ が $y$ 軸の正の部分と交わるための条件は、$f(0) > 0$ となることである。

$$ f(0) = 2k^2 - 8k + 4 $$

したがって、不等式 $2k^2 - 8k + 4 > 0$ を解けばよい。両辺を $2$ で割って整理すると、

$$ k^2 - 4k + 2 > 0 $$

$k^2 - 4k + 2 = 0$ の解は $k = 2 \pm \sqrt{2}$ であるから、求める $k$ の値の範囲は、

$$ k < 2 - \sqrt{2}, \quad 2 + \sqrt{2} < k $$

(2)

$C$ が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わるためには、$y=f(x)$ のグラフが下に凸の放物線であることから、以下の3つの条件を同時に満たす必要がある。

**(i)** $f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ **(ii)** 放物線の軸が $x > 0$ の範囲にある **(iii)** $f(0) > 0$

まず、$f(x)$ を平方完成して軸の方程式を求める。

$$ f(x) = \{x + (2-k)\}^2 - (2-k)^2 + 2k^2 - 8k + 4 $$

$$ = \{x - (k-2)\}^2 - (k^2 - 4k + 4) + 2k^2 - 8k + 4 $$

$$ = \{x - (k-2)\}^2 + k^2 - 4k $$

これより、放物線の軸の方程式は $x = k-2$ である。

次に、各条件について調べる。

**(i)** 判別式 $D > 0$ について

$$ \frac{D}{4} = (2-k)^2 - 1 \cdot (2k^2 - 8k + 4) $$

$$ = 4 - 4k + k^2 - 2k^2 + 8k - 4 $$

$$ = -k^2 + 4k $$

$D > 0$ より、$-k^2 + 4k > 0$ となるから、

$$ k(k-4) < 0 $$

これを解いて、

$$ 0 < k < 4 \cdots ① $$

（頂点の $y$ 座標が負、すなわち $k^2-4k < 0$ としても同じ式が得られる）

**(ii)** 軸の位置について

軸 $x = k-2$ が正の範囲にあるので、

$$ k - 2 > 0 $$

よって、

$$ k > 2 \cdots ② $$

**(iii)** 端点の値について

$f(0) > 0$ は(1)で求めた条件そのものであるから、

$$ k < 2 - \sqrt{2}, \quad 2 + \sqrt{2} < k \cdots ③ $$

求める $k$ の範囲は、①、②、③の共通範囲である。 まず、①と②の共通範囲を求めると、

$$ 2 < k < 4 \cdots ④ $$

次に、④と③の共通範囲を求める。 $1 < \sqrt{2} < 2$ より $3 < 2+\sqrt{2} < 4$ であるから、④と③の共通範囲は、

$$ 2 + \sqrt{2} < k < 4 $$

解説

2次関数と座標軸の交点に関する標準的な問題である。 (1)では $y$ 切片の符号を調べるだけでよい。 (2)の「 $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる」という条件は、2次方程式 $f(x)=0$ が正の異なる2つの実数解をもつことと同値である。解の配置（解の存在範囲）の問題として、「判別式」「軸の位置」「端点の符号」の3条件を漏れなく立式し、それぞれの不等式を正確に解く力が問われている。連立不等式を解く際は、数直線を描いて共通範囲を視覚的に確認するとミスを防ぎやすい。

答え

(1)

$k < 2 - \sqrt{2}, \quad 2 + \sqrt{2} < k$

(2)

$2 + \sqrt{2} < k < 4$