解説

方針・初手

与えられた2次方程式の解に関する条件から定数 $k$ を求める問題であるため、解と係数の関係を利用する。 (1) は「2つの解の差」が与えられているため、差の2乗を和と積で表して処理する。 (2) は「2つの実数解」と指定があるため、判別式による実数解条件を忘れないよう注意する。絶対値の和が与えられているので、両辺を2乗するか、解の符号によって場合分けをして絶対値を外す。

解法1

2次方程式 $x^2 - (k-2)x + 2k = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とおく。 解と係数の関係より、以下の式が成り立つ。

$$ \alpha + \beta = k - 2 $$

$$ \alpha\beta = 2k $$

(1) 2つの解の差が $1$ であるから、$(\alpha - \beta)^2 = 1$ が成り立つ。 これを基本対称式で表して変形する。

$$ \begin{aligned} (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta &= 1 \\ (k - 2)^2 - 4 \cdot 2k &= 1 \\ k^2 - 12k + 3 &= 0 \end{aligned} $$

これを解いて、$k = 6 \pm \sqrt{33}$。 このとき、方程式の判別式を $D$ とすると、$D = (k-2)^2 - 8k = (\alpha - \beta)^2 = 1 > 0$ となるため、解は必ず相異なる2つの実数となり適する。

(2) 条件を満たすためには、方程式が実数解をもつことが必要である。 判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ より

$$ \begin{aligned} (k - 2)^2 - 8k &\ge 0 \\ k^2 - 12k + 4 &\ge 0 \end{aligned} $$

これを解いて、以下の実数解条件を得る。

$$ k \le 6 - 4\sqrt{2}, \ 6 + 4\sqrt{2} \le k \quad \cdots \text{①} $$

2つの実数解の絶対値の和が $2\sqrt{2}$ であるから、$|\alpha| + |\beta| = 2\sqrt{2}$ が成り立つ。 両辺を2乗して変形する。

$$ \begin{aligned} (|\alpha| + |\beta|)^2 &= 8 \\ \alpha^2 + \beta^2 + 2|\alpha\beta| &= 8 \\ (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta + 2|\alpha\beta| &= 8 \\ (k - 2)^2 - 4k + 4|k| &= 8 \\ k^2 - 8k + 4|k| - 4 &= 0 \end{aligned} $$

ここで $k$ の符号によって場合分けをする。

**(i)** $k \ge 0$ のとき $|k| = k$ であるから、方程式は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} k^2 - 4k - 4 &= 0 \end{aligned} $$

これを解いて、$k = 2 \pm 2\sqrt{2}$。 $k \ge 0$ より $k = 2 + 2\sqrt{2}$ である。 しかし、$6 - 4\sqrt{2} < 2 + 2\sqrt{2} < 6 + 4\sqrt{2}$ であるため、条件①を満たさず不適である。

**(ii)** $k < 0$ のとき $|k| = -k$ であるから、方程式は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} k^2 - 12k - 4 &= 0 \end{aligned} $$

これを解いて、$k = 6 \pm 2\sqrt{10}$。 $k < 0$ より $k = 6 - 2\sqrt{10}$ である。 $6 - 2\sqrt{10} < 0 < 6 - 4\sqrt{2}$ であるため、条件①を満たし適する。

**(i)**, **(ii)** より、$k = 6 - 2\sqrt{10}$。

解法2

(2)の別解を示す。

方程式が実数解をもつための条件は、解法1と同様に以下の通りである。

$$ k \le 6 - 4\sqrt{2}, \ 6 + 4\sqrt{2} \le k \quad \cdots \text{①} $$

2つの解の符号に着目して場合分けをする。

**(i)** 2つの解 $\alpha, \beta$ が同符号または一方が $0$ のとき 解と係数の関係より $\alpha\beta = 2k \ge 0$ すなわち $k \ge 0$ である。 このとき、$|\alpha| + |\beta| = |\alpha + \beta| = |k - 2|$ となる。 条件より $|k - 2| = 2\sqrt{2}$ であるから、これを解く。

$$ k = 2 \pm 2\sqrt{2} $$

$k \ge 0$ より $k = 2 + 2\sqrt{2}$ となるが、これは条件①を満たさず不適である。

**(ii)** 2つの解 $\alpha, \beta$ が異符号のとき 解と係数の関係より $\alpha\beta = 2k < 0$ すなわち $k < 0$ である。 $\alpha > 0, \beta < 0$ としても一般性を失わない。 このとき、$|\alpha| + |\beta| = \alpha - \beta$ となる。 条件より $\alpha - \beta = 2\sqrt{2}$ であるから、両辺を2乗して解と係数の関係を用いる。

$$ \begin{aligned} (\alpha - \beta)^2 &= 8 \\ (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta &= 8 \\ (k - 2)^2 - 8k &= 8 \\ k^2 - 12k - 4 &= 0 \end{aligned} $$

これを解いて $k = 6 \pm 2\sqrt{10}$。 $k < 0$ より $k = 6 - 2\sqrt{10}$ となる。これは条件①を満たし適する。

**(i)**, **(ii)** より、$k = 6 - 2\sqrt{10}$。

解説

解と係数の関係を活用する典型的な問題である。 (1) では、与えられた「解の差」から「差の2乗」を計算することで、解と係数の関係を利用できる基本対称式の形に持ち込むのが定石である。 (2) では、「実数解」という指定があるため、判別式による実数解条件の確認を忘れないことが最も重要である。絶対値の扱い方としては、解法1のように両辺を2乗して方程式全体を $k$ の式にしてから $k$ の符号で場合分けする方法と、解法2のように最初から解の符号に着目して場合分けする方法がある。解の符号に着目すると、絶対値記号を自然に外すことができ、計算の意味が明確になる。

答え

(1) $k = 6 \pm \sqrt{33}$

(2) $k = 6 - 2\sqrt{10}$