解説

方針・初手

2次方程式 $f(x) = 0$ がある値 $k$ をまたいで2つの実数解をもつ条件は、2次の係数 $a$ に対して $a f(k) < 0$ となることである。 本問では2次の係数が $5n$ であり、$n$ は正の整数であることから $5n > 0$ であるため、$f(1) < 0$ が求める条件となる。この解の配置の条件から得られる不等式を変形し、条件を満たす正の整数の組 $(m, n)$ を絞り込む。

解法1

$f(x) = 5nx^2 + (mn - 20)x + 4m$ とおく。

$n$ は正の整数であるから、2次関数 $y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線である。 2次方程式 $f(x) = 0$ が1より大きい解と1より小さい解をもつための条件は、$f(1) < 0$ となることである。

$$ f(1) = 5n \cdot 1^2 + (mn - 20) \cdot 1 + 4m < 0 $$

これを整理すると、

$$ mn + 4m + 5n - 20 < 0 $$

左辺を $( \ \ )( \ \ ) < (\text{定数})$ の形に変形する。

$$ m(n + 4) + 5(n + 4) - 20 - 20 < 0 $$

$$ (m + 5)(n + 4) < 40 $$

$m, n$ は正の整数であるから、$m \geqq 1, n \geqq 1$ である。 よって、$m + 5 \geqq 6, n + 4 \geqq 5$ である。

**(i)** $m = 1$ のとき $m + 5 = 6$ であるから、

$$ 6(n + 4) < 40 $$

$$ n + 4 < \frac{20}{3} = 6.66\dots $$

$n + 4 \geqq 5$ を満たす整数は $n + 4 = 5, 6$ である。 ゆえに、$n = 1, 2$ となる。 問題の条件より「$m, n$ は異なる」ため、$m = n = 1$ は不適であり、$n = 2$ となる。 よって、$(m, n) = (1, 2)$ である。

**(ii)** $m = 2$ のとき $m + 5 = 7$ であるから、

$$ 7(n + 4) < 40 $$

$$ n + 4 < \frac{40}{7} = 5.71\dots $$

$n + 4 \geqq 5$ を満たす整数は $n + 4 = 5$ のみである。 ゆえに、$n = 1$ となる。 これは $m \neq n$ を満たす。 よって、$(m, n) = (2, 1)$ である。

**(iii)** $m \geqq 3$ のとき $m + 5 \geqq 8$ であるから、

$$ n + 4 < \frac{40}{m + 5} \leqq \frac{40}{8} = 5 $$

すなわち $n + 4 < 5$ となるが、これは $n + 4 \geqq 5$ と矛盾する。 よって、これを満たす正の整数 $n$ は存在しない。

以上より、条件を満たす $m, n$ の組は $(m, n) = (1, 2), (2, 1)$ である。

解説

解の配置問題と整数問題（不等式の絞り込み）を組み合わせた問題である。 2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ がある値 $\alpha$ を境に分かれる解をもつ条件は、2次関数 $y = f(x)$ のグラフを考えて $a f(\alpha) < 0$ となることである。このとき、頂点の $y$ 座標は自動的に負となり異なる2つの実数解をもつことが保証されるため、判別式の確認は不要になる。 得られた不等式を整数問題における定石である「因数分解＝定数（または不等号）」の形に変形し、各因数のとりうる範囲を考慮して候補を絞り込んでいけばよい。最後に「異なる正の整数」という条件を見落とさないよう注意する。

答え

$(m, n) = (1, 2), (2, 1)$