解説

方針・初手

それぞれの項の分母に二重根号が含まれているため、まずはこの二重根号を外すことを考える。根号の中身を無理やり $2\sqrt{\dots}$ の形にして二重根号を外すか、あるいは分母分子に適切な無理数を掛けて分母の根号を解消する手法が有効である。

解法1

各項の分母の二重根号を直接外す。

第1項について、分母は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} \sqrt{6-\sqrt{27}} &= \sqrt{6-3\sqrt{3}} \\ &= \sqrt{\frac{12-6\sqrt{3}}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{12-2\sqrt{27}}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

したがって、第1項は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6-\sqrt{27}}} &= \frac{2\sqrt{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{2\sqrt{6}}{3-\sqrt{3}} \\ &= \frac{2\sqrt{6}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} \\ &= \frac{2\sqrt{6}(3+\sqrt{3})}{9-3} \\ &= \frac{6\sqrt{6}+6\sqrt{2}}{6} \\ &= \sqrt{6}+\sqrt{2} \end{aligned} $$

第2項について、分母は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} \sqrt{9-4\sqrt{5}} &= \sqrt{9-2\sqrt{20}} \\ &= \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{4})^2} \\ &= \sqrt{5}-2 \end{aligned} $$

したがって、第2項は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9-4\sqrt{5}}} &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} \\ &= \frac{\sqrt{10}+2\sqrt{2}}{5-4} \\ &= \sqrt{10}+2\sqrt{2} \end{aligned} $$

以上より、与式は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} (\sqrt{6}+\sqrt{2}) - (\sqrt{10}+2\sqrt{2}) &= \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{10} - 2\sqrt{2} \\ &= \sqrt{6} - \sqrt{10} - \sqrt{2} \end{aligned} $$

解法2

分母の有理化と同様の発想で、分母のルートの中身が平方の差になるように、分母分子に共役な無理数を掛ける。

第1項について、分母分子に $\sqrt{6+\sqrt{27}}$ を掛ける。

$$ \begin{aligned} \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6-\sqrt{27}}} &= \frac{2\sqrt{3}\sqrt{6+\sqrt{27}}}{\sqrt{6-\sqrt{27}}\sqrt{6+\sqrt{27}}} \\ &= \frac{\sqrt{12(6+3\sqrt{3})}}{\sqrt{36-27}} \\ &= \frac{\sqrt{72+36\sqrt{3}}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{\sqrt{36(2+\sqrt{3})}}{3} \\ &= \frac{6\sqrt{2+\sqrt{3}}}{3} \\ &= 2\sqrt{2+\sqrt{3}} \\ &= 2\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}} \\ &= \sqrt{2}(\sqrt{3}+1) \\ &= \sqrt{6}+\sqrt{2} \end{aligned} $$

第2項について、分母分子に $\sqrt{9+4\sqrt{5}}$ を掛ける。

$$ \begin{aligned} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9-4\sqrt{5}}} &= \frac{\sqrt{2}\sqrt{9+4\sqrt{5}}}{\sqrt{9-4\sqrt{5}}\sqrt{9+4\sqrt{5}}} \\ &= \frac{\sqrt{18+8\sqrt{5}}}{\sqrt{81-80}} \\ &= \sqrt{18+2\sqrt{80}} \\ &= \sqrt{10}+\sqrt{8} \\ &= \sqrt{10}+2\sqrt{2} \end{aligned} $$

以上より、与式は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} (\sqrt{6}+\sqrt{2}) - (\sqrt{10}+2\sqrt{2}) &= \sqrt{6} - \sqrt{10} - \sqrt{2} \end{aligned} $$

解説

二重根号を外す基本的な計算問題である。二重根号 $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ は、$x+y=a, xy=b$ となる正の数 $x, y$（ただし $x>y$）を見つけることで、$\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ と外すことができる。

ルートの前に $2$ がない場合は、根号の中を無理やり $\frac{\dots}{2}$ の形にして $2$ を作り出す工夫が必要である。解法1はこの定石に忠実に従ったものである。

一方、解法2のように共役な式を掛けることで分母のルートを即座に外すという手法も非常に強力である。分数式の形によっては計算量が大幅に減るため、状況に応じて使い分けられるようにしておきたい。

答え

$$ \sqrt{6} - \sqrt{10} - \sqrt{2} $$